{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/49","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"49","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 49. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości: |𝐴𝐵| = 4, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐶| = 6.\nOblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta 𝑨𝑩𝑪.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n2) korzysta z wzorów sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼 ;\n3) stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 𝑃=\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.\nVIII. Planimetria. Zdający:\n2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych\ndługościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i\ntwierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta\nwewnętrznego leży dłuższy bok.\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐶𝐵: sin|∡𝐴𝐶𝐵| =\n√7\n4\n2 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝐴𝐶𝐵: cos|∡𝐴𝐶𝐵| = 3\n4\n1 pkt - zapisanie, że najmniejszym kątem trójkąta jest kąt 𝐴𝐶𝐵.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n99\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW trójkącie naprzeciw najmniejszego kąta wewnętrznego leży najkrótszy bok, więc musimy\nobliczyć sinus kąta 𝐴𝐶𝐵.\nOznaczmy: |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛼.\nZ twierdzenia cosinusów obliczymy cos 𝛼:\n|𝐴𝐵|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| ⋅cos 𝛼\n42 = 62 + 52 -2 ⋅6 ⋅5 ⋅cos 𝛼\n16 = 36 + 25 -60 ⋅cos 𝛼\n60 ⋅cos 𝛼= 61 -16\ncos 𝛼= 45\n60 = 3\n4\nZ „jedynki trygonometrycznej” obliczymy sin 𝛼:\nsin2 𝛼= 1 -(3\n4)\n2\n= 7\n16\nPonieważ 𝛼 jest kątem ostrym, więc\nsin 𝛼= √7\n16 = √7\n4\n𝐴\n5\n𝐶\n𝐵\n4\n6\n𝛼\n100\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\sin|\\measuredangle ACB| = \\dfrac{\\sqrt{7}}{4}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-49.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":98,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 49. (0-3)
Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości: |𝐴𝐵| = 4, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐶| = 6.
Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta 𝑨𝑩𝑪.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymagania szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:

\n
  1. korzysta z wzorów sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=
\n

sin 𝛼
cos𝛼 ;

\n
  1. stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 𝑃=
\n

1
2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.
VIII. Planimetria. Zdający:

\n
  1. rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych
\n

długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i
twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta
wewnętrznego leży dłuższy bok.
Zasady oceniania
3 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐶𝐵: sin|∡𝐴𝐶𝐵| =
√7
4
2 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝐴𝐶𝐵: cos|∡𝐴𝐶𝐵| = 3
4
1 pkt - zapisanie, że najmniejszym kątem trójkąta jest kąt 𝐴𝐶𝐵.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
99
Przykładowe pełne rozwiązanie
W trójkącie naprzeciw najmniejszego kąta wewnętrznego leży najkrótszy bok, więc musimy
obliczyć sinus kąta 𝐴𝐶𝐵.
Oznaczmy: |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛼.
Z twierdzenia cosinusów obliczymy cos 𝛼:
|𝐴𝐵|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| ⋅cos 𝛼
42 = 62 + 52 -2 ⋅6 ⋅5 ⋅cos 𝛼
16 = 36 + 25 -60 ⋅cos 𝛼
60 ⋅cos 𝛼= 61 -16
cos 𝛼= 45
60 = 3
4
Z „jedynki trygonometrycznej” obliczymy sin 𝛼:
sin2 𝛼= 1 -(3
4)
2
= 7
16
Ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym, więc
sin 𝛼= √7
16 = √7
4
𝐴
5
𝐶
𝐵
4
6
𝛼
100
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\sin|\\measuredangle ACB| = \\dfrac{\\sqrt{7}}{4}$

"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Najmniejszy kąt leży naprzeciw najkrótszego boku, czyli naprzeciw AB=4, a więc jest
to kąt ACB. Oznaczmy |∡ACB|=α.
Z twierdzenia cosinusów:
|AB|² = |AC|²+|BC|² - 2·|AC|·|BC|·cos α
16 = 36+25 - 60·cos α
60·cos α = 45
cos α = 3/4
sin²α = 1-(3/4)² = 7/16, a ponieważ α jest kątem ostrym, sin α = √7/4.
Sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta ABC jest równy √7/4.

"}]}