{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/5","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝒏(𝒏𝟐+ 𝟑𝒏+ 𝟐) jest podzielna\nprzez 𝟔.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) do postaci 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) oraz\nzapisanie, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2 co najmniej\njedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) do postaci 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wyrażenie 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) do postaci iloczynu trzech liczb naturalnych.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑛2 + 3𝑛+ 2 (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):\nΔ = 32 -4 ⋅1 ⋅2 = 1\ni stąd obliczamy jego pierwiastki:\n𝑛1 = -3 -√1\n2 ⋅1\n= -2\n𝑛2 = -3 + √1\n2 ⋅1\n= -1\n18\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZatem\n𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) = 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2)\nWśród każdych trzech kolejnych liczb naturalnych 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2 co najmniej jedna jest\npodzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.\nZatem liczba 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) dzieli się przez 2 oraz przez 3.\nPonadto liczby 2 oraz 3 są względnie pierwsze.\nZatem liczba 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) = 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) jest podzielna przez 6.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"n(n²+3n+2) = n(n+1)(n+2), bo pierwiastkami trójmianu n²+3n+2 są n=-1, n=-2.\nWśród trzech kolejnych liczb naturalnych n, n+1, n+2 co najmniej jedna jest podzielna\nprzez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3. Zatem iloczyn n(n+1)(n+2) dzieli się\nprzez 2 oraz przez 3, a ponieważ liczby 2 i 3 są względnie pierwsze, iloczyn ten jest\npodzielny przez 6. Zatem n(n²+3n+2) jest podzielne przez 6.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":17,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 5. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝒏(𝒏𝟐+ 𝟑𝒏+ 𝟐) jest podzielna
przez 𝟔.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
Wymaganie szczegółowe
I.
Liczby rzeczywiste. Zdający:

\n
  1. przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt
\n

z dzielenia […].
Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) do postaci 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) oraz
zapisanie, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2 co najmniej
jedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) do postaci 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy wyrażenie 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) do postaci iloczynu trzech liczb naturalnych.
Obliczamy wyróżnik trójmianu 𝑛2 + 3𝑛+ 2 (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):
Δ = 32 -4 ⋅1 ⋅2 = 1
i stąd obliczamy jego pierwiastki:
𝑛1 = -3 -√1
2 ⋅1
= -2
𝑛2 = -3 + √1
2 ⋅1
= -1
18
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Zatem
𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) = 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2)
Wśród każdych trzech kolejnych liczb naturalnych 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2 co najmniej jedna jest
podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.
Zatem liczba 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) dzieli się przez 2 oraz przez 3.
Ponadto liczby 2 oraz 3 są względnie pierwsze.
Zatem liczba 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) = 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) jest podzielna przez 6.

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

n(n²+3n+2) = n(n+1)(n+2), bo pierwiastkami trójmianu n²+3n+2 są n=-1, n=-2.
Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych n, n+1, n+2 co najmniej jedna jest podzielna
przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3. Zatem iloczyn n(n+1)(n+2) dzieli się
przez 2 oraz przez 3, a ponieważ liczby 2 i 3 są względnie pierwsze, iloczyn ten jest
podzielny przez 6. Zatem n(n²+3n+2) jest podzielne przez 6.

"}]}