{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/54","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"54","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 54. (0-3)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), punkty 𝐴= (-1, -5),\n𝐵= (2, -7), 𝐶= (6, 9) i 𝐷= (-2, 9) są wierzchołkami czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nOblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań,\nw tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;\n2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,\nw tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np.\nprzechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość do innej prostej).\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝑃= (2\n3 , -5\n3).\n2 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2𝑥-3 oraz wyznaczenie równania\nprostej 𝐵𝐷: 𝑦= -4𝑥+ 1.\n1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2𝑥-3\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐷: 𝑦= -4𝑥+ 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n105\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑃 oznacza punkt przecięcia przekątnych czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nPunkt 𝑃 jest punktem przecięcia prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷.\nSkorzystamy ze wzoru na równanie ogólne prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty\n(zobacz w Wybranych wzorach matematycznych).\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐶:\n(𝑦+ 5)(6 + 1) -(9 + 5)(𝑥+ 1) = 0\n7𝑦+ 35 -14𝑥-14 = 0\n7𝑦= 14𝑥-21\n𝑦= 2𝑥-3\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐷:\n(𝑦+ 7)(-2 -2) -(9 + 7)(𝑥-2) = 0\n-4𝑦-28 -16𝑥+ 32 = 0\n-4𝑦= 16𝑥-4\n𝑦= -4𝑥+ 1\nPunkt 𝑃 jest punktem przecięcia prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷, więc jego współrzędne obliczymy,\nrozwiązując układ równań\n{ 𝑦= 2𝑥-3\n𝑦= -4𝑥+ 1\nStąd\n2𝑥-3 = -4𝑥+ 1\n6𝑥= 4\n𝑥= 2\n3\n𝑦= -5\n3\nZatem punkt przecięcia przekątnych czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma współrzędne (2\n3 , -5\n3).\n106\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P = \\left(\\dfrac{2}{3}, -\\dfrac{5}{3}\\right)$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-54.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":104,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 54. (0-3)
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), punkty 𝐴= (-1, -5),
𝐵= (2, -7), 𝐶= (6, 9) i 𝐷= (-2, 9) są wierzchołkami czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymagania szczegółowe
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:

\n
  1. rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań,
\n

w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;

\n
  1. posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,
\n

w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np.
przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,
równoległość do innej prostej).
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝑃= (2
3 , -5
3).
2 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2𝑥-3 oraz wyznaczenie równania
prostej 𝐵𝐷: 𝑦= -4𝑥+ 1.
1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2𝑥-3
ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
105
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝑃 oznacza punkt przecięcia przekątnych czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Punkt 𝑃 jest punktem przecięcia prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷.
Skorzystamy ze wzoru na równanie ogólne prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty
(zobacz w Wybranych wzorach matematycznych).
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐶:
(𝑦+ 5)(6 + 1) -(9 + 5)(𝑥+ 1) = 0
7𝑦+ 35 -14𝑥-14 = 0
7𝑦= 14𝑥-21
𝑦= 2𝑥-3
Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐷:
(𝑦+ 7)(-2 -2) -(9 + 7)(𝑥-2) = 0
-4𝑦-28 -16𝑥+ 32 = 0
-4𝑦= 16𝑥-4
𝑦= -4𝑥+ 1
Punkt 𝑃 jest punktem przecięcia prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷, więc jego współrzędne obliczymy,
rozwiązując układ równań
{ 𝑦= 2𝑥-3
𝑦= -4𝑥+ 1
Stąd
2𝑥-3 = -4𝑥+ 1
6𝑥= 4
𝑥= 2
3
𝑦= -5
3
Zatem punkt przecięcia przekątnych czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma współrzędne (2
3 , -5
3).
106
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P = \\left(\\dfrac{2}{3}, -\\dfrac{5}{3}\\right)$

"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Punkt przecięcia przekątnych P to punkt wspólny prostych AC i BD.
Prosta AC przez A=(-1,-5), C=(6,9): współczynnik kierunkowy (9-(-5))/(6-(-1))=14/7=2,
y=2x-3 (sprawdzenie: dla x=-1, y=-5 ✓).
Prosta BD przez B=(2,-7), D=(-2,9): współczynnik kierunkowy (9-(-7))/(-2-2)=16/(-4)=-4,
y=-4x+1 (sprawdzenie: dla x=2, y=-7 ✓).
Rozwiązujemy układ: 2x-3 = -4x+1, 6x=4, x=2/3, y=2·(2/3)-3=-5/3.
Punkt przecięcia przekątnych: P = (2/3, -5/3).

"}]}