{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/55","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"55","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 55. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷\nprzecinają się w punkcie 𝑆= (11\n2 , 17\n2 ). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej\no równaniu 𝑦= 𝑥-2, a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 3𝑥-6.\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝑩.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań,\nw tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;\n2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,\nw tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np.\nprzechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość do innej prostej).\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐵 oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝐵= (4, 2).\n3 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 3𝑥-10\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (3, 1).\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (9, 17)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (3, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz wyznaczenie równania prostej\n𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem boku 𝐴𝐵): 𝑦= 3𝑥-8.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n107\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0)\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵):\n𝑦= 3𝑥-8.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 3𝑥-6\nStąd\n𝑥-2 = 3𝑥-6\n-2𝑥= -4\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2,0).\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶, więc\n2 + 𝑥𝑐\n2\n= 11\n2 oraz 0 + 𝑦𝑐\n2\n= 17\n2\n𝑥𝑐= 9 oraz 𝑦𝑐= 17\nZatem 𝐶= (9, 17).\nProsta 𝐵𝐶 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶 jest\nrówny 3.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶. Skorzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe prostej\no danym współczynniku kierunkowym, która przechodzi przez dany punkt (zobacz\nw Wybranych wzorach matematycznych).\n𝑦= 3(𝑥-9) + 17\n𝑦= 3𝑥-10\nPunkt 𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 3𝑥-10\nStąd\n𝑥-2 = 3𝑥-10\n-2𝑥= -8\n𝑥= 4\n𝑦= 2\nZatem 𝐵= (4, 2).\n108\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 2.\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 3𝑥-6\nStąd\n𝑥-2 = 3𝑥-6\n-2𝑥= -4\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2,0).\nOznaczmy przez 𝑀𝐴𝐵 środek odcinka 𝐴𝐵. Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷,\nzatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równy 3.\nWyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵. Skorzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe\nprostej o danym współczynniku kierunkowym, która przechodzi przez dany punkt (zobacz\nw Wybranych wzorach matematycznych).\n𝑦= 3 (𝑥-11\n2 ) + 17\n2\n𝑦= 3𝑥-8\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝑆𝑀𝐴𝐵, zatem współrzędne tego punktu\nsą rozwiązaniem układu równań\n{𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 3𝑥-8\nStąd\n𝑥-2 = 3𝑥-8\n-2𝑥= -6\n𝑥= 3\n𝑦= 1\nZatem 𝑀𝐴𝐵= (3, 1).\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc\n2 + 𝑥𝑏\n2\n= 3 oraz 0 + 𝑦𝑏\n2\n= 1\n𝑥𝑏= 4 oraz 𝑦𝑏= 2\nZatem 𝐵= (4, 2).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n109","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$B = (4, 2)$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-55.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":106,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 55. (0-4)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷
przecinają się w punkcie 𝑆= (11
2 , 17
2 ). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej
o równaniu 𝑦= 𝑥-2, a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 3𝑥-6.
Oblicz współrzędne wierzchołka 𝑩.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymagania szczegółowe
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:

\n
  1. rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań,
\n

w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;

\n
  1. posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,
\n

w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np.
przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,
równoległość do innej prostej).
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐵 oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝐵= (4, 2).
3 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 3𝑥-10
ALBO

\n\n

środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (3, 1).
2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (9, 17)
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem boku 𝐴𝐵): 𝑦= 3𝑥-8.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
107
1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0)
ALBO

\n\n

𝑦= 3𝑥-8.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań
{𝑦= 𝑥-2
𝑦= 3𝑥-6
Stąd
𝑥-2 = 3𝑥-6
-2𝑥= -4
𝑥= 2
𝑦= 0
Zatem 𝐴= (2,0).
Punkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶, więc
2 + 𝑥𝑐
2
= 11
2 oraz 0 + 𝑦𝑐
2
= 17
2
𝑥𝑐= 9 oraz 𝑦𝑐= 17
Zatem 𝐶= (9, 17).
Prosta 𝐵𝐶 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶 jest
równy 3.
Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶. Skorzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe prostej
o danym współczynniku kierunkowym, która przechodzi przez dany punkt (zobacz
w Wybranych wzorach matematycznych).
𝑦= 3(𝑥-9) + 17
𝑦= 3𝑥-10
Punkt 𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań
{ 𝑦= 𝑥-2
𝑦= 3𝑥-10
Stąd
𝑥-2 = 3𝑥-10
-2𝑥= -8
𝑥= 4
𝑦= 2
Zatem 𝐵= (4, 2).
108
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Sposób 2.
Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań
{𝑦= 𝑥-2
𝑦= 3𝑥-6
Stąd
𝑥-2 = 3𝑥-6
-2𝑥= -4
𝑥= 2
𝑦= 0
Zatem 𝐴= (2,0).
Oznaczmy przez 𝑀𝐴𝐵 środek odcinka 𝐴𝐵. Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷,
zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równy 3.
Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵. Skorzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe
prostej o danym współczynniku kierunkowym, która przechodzi przez dany punkt (zobacz
w Wybranych wzorach matematycznych).
𝑦= 3 (𝑥-11
2 ) + 17
2
𝑦= 3𝑥-8
Punkt 𝑀𝐴𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝑆𝑀𝐴𝐵, zatem współrzędne tego punktu
są rozwiązaniem układu równań
{𝑦= 𝑥-2
𝑦= 3𝑥-8
Stąd
𝑥-2 = 3𝑥-8
-2𝑥= -6
𝑥= 3
𝑦= 1
Zatem 𝑀𝐴𝐵= (3, 1).
Punkt 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc
2 + 𝑥𝑏
2
= 3 oraz 0 + 𝑦𝑏
2
= 1
𝑥𝑏= 4 oraz 𝑦𝑏= 2
Zatem 𝐵= (4, 2).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
109

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$B = (4, 2)$

"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Punkt A jest punktem wspólnym prostych AB (y=x-2) i AD (y=3x-6):
x-2=3x-6, -2x=-4, x=2, y=0, więc A=(2,0).
S jest środkiem przekątnej AC, więc C=(2·(11/2)-2, 2·(17/2)-0) = (9,17).
Prosta BC jest równoległa do AD, więc ma współczynnik kierunkowy 3 i przechodzi przez
C=(9,17): y=3(x-9)+17=3x-10.
Punkt B jest punktem wspólnym prostych AB (y=x-2) i BC (y=3x-10):
x-2=3x-10, -2x=-8, x=4, y=2.
Wierzchołek B = (4, 2).

"}]}