{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/56","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"56","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 56. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (2, 8) oraz 𝐵= (10, 2) są\nwierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝑃, w którym |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|.\nWierzchołek 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥 układu współrzędnych.\nOblicz współrzędne punktu 𝑷 oraz długość odcinka 𝑨𝑷.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\nDobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia\nnieparzystego z liczb ujemnych.\n110\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz długości odcinka 𝐴𝑃\noraz poprawne wyniki: 𝑃= (9\n4 , 0), |𝐴𝑃| = 5√41\n4\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (9\n4 , 0) .\n2 pkt - zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 i 𝑦𝑝= 0.\n1 pkt - zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0)\nALBO\n- zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu\n𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nStąd, że |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy\nrównanie\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = (𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n𝑥𝑝\n2 -4𝑥𝑝+ 4 + 64 = 𝑥𝑝\n2 -20𝑥𝑝+ 100 + 4\n16𝑥𝑝= 36\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:\n|𝐴𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n111","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P = \\left(\\dfrac{9}{4}, 0\\right), |AP| = \\dfrac{5\\sqrt{41}}{4}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-56.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":109,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 56. (0-4)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (2, 8) oraz 𝐵= (10, 2) są<br>wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝑃, w którym |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|.<br>Wierzchołek 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥 układu współrzędnych.<br>Oblicz współrzędne punktu 𝑷 oraz długość odcinka 𝑨𝑷.<br>Wymaganie ogólne<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>3.<br>Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów,<br>tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania<br>i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.<br>Wymagania szczegółowe<br>IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:</p>\n<ol><li>oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.</li></ol>\n<p>I.<br>Liczby rzeczywiste. Zdający:</p>\n<ol><li>stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia</li></ol>\n<p>nieparzystego z liczb ujemnych.<br>110<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz długości odcinka 𝐴𝑃<br>oraz poprawne wyniki: 𝑃= (9<br>4 , 0), |𝐴𝑃| = 5√41<br>4<br>3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (9<br>4 , 0) .<br>2 pkt - zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.<br>√(𝑥𝑝-2)<br>2 + (𝑦𝑝-8)<br>2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (𝑦𝑝-2)<br>2 i 𝑦𝑝= 0.<br>1 pkt - zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu</li></ul>\n<p>𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.<br>√(𝑥𝑝-2)<br>2 + (𝑦𝑝-8)<br>2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (𝑦𝑝-2)<br>2 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Ponieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).<br>Stąd, że |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy<br>równanie<br>√(𝑥𝑝-2)<br>2 + (0 -8)2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (0 -2)2<br>(𝑥𝑝-2)<br>2 + (0 -8)2 = (𝑥𝑝-10)<br>2 + (0 -2)2<br>𝑥𝑝<br>2 -4𝑥𝑝+ 4 + 64 = 𝑥𝑝<br>2 -20𝑥𝑝+ 100 + 4<br>16𝑥𝑝= 36<br>𝑥𝑝= 9<br>4<br>Zatem 𝑃= (9<br>4 , 0).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:<br>|𝐴𝑃| = √(9<br>4 -2)<br>2</p>\n<ul><li>(0 -8)2 = √(1</li></ul>\n<p>4)<br>2</p>\n<ul><li>(-8)2 = √1</li></ul>\n<p>16 + 64 = √1025<br>16<br>= 5√41<br>4<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>111</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P = \\left(\\dfrac{9}{4}, 0\\right), |AP| = \\dfrac{5\\sqrt{41}}{4}$</p>"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>P leży na osi Ox, więc P=(xp,0). Z warunku |AP|=|BP|:<br>(xp-2)²+(0-8)² = (xp-10)²+(0-2)²<br>xp²-4xp+4+64 = xp²-20xp+100+4<br>16xp = 36<br>xp = 9/4<br>P = (9/4, 0).<br>|AP| = √[(9/4-2)²+(0-8)²] = √[(1/4)²+64] = √(1/16+64) = √(1025/16) = √1025/4 = 5√41/4.<br>Odpowiedź: P=(9/4, 0), |AP| = 5√41/4.</p>"}]}