{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/57.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"57.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 57.2. (0-4)\nW prostopadłościanie 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 dane są:\ntg 𝛽= 9\n7 |𝐵𝐺| = 2√130 |𝐵𝐻| = 2√194\ngdzie odcinek 𝐵𝐻 jest przekątną prostopadłościanu, odcinek 𝐵𝐺 jest przekątną ściany\nbocznej 𝐵𝐶𝐺𝐹, 𝛽 jest miarą kąta 𝐺𝐵𝐶. Sytuację ilustruje rysunek poniżej.\nOblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n𝛽\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n113\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np.\nkrawędziami, krawędziami i przekątnymi) […];\n5) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów […] również z wykorzystaniem\ntrygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa oraz\npodanie poprawnego wyniku: 𝑃𝑐= 1528.\n3 pkt - poprawne obliczenie długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu:\n|𝐵𝐶| = 14, |𝐶𝐺| = 18, |𝐺𝐻| = 16.\n2 pkt - obliczenie długości dwóch krawędzi 𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐺: |𝐵𝐶| = 14 oraz |𝐶𝐺| = 18\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐺𝐻: |𝐺𝐻| = 16 oraz zapisanie układu równań\nz niewiadomymi |𝐵𝐶| oraz |𝐶𝐺| np.: |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = (2√130)\n2 oraz\n|𝐶𝐺|\n|𝐵𝐶| = 9\n7\n1 pkt - zapisanie układu równań z niewiadomymi |𝐵𝐶| oraz |𝐶𝐺| np.:\n|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = (2√130)\n2 oraz\n|𝐶𝐺|\n|𝐵𝐶| = 9\n7\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐺𝐻: |𝐺𝐻| = 16.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n114\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadźmy oznaczenia dla odcinków (jak na rysunku obok) -\ndługości krawędzi prostopadłościanu oznaczmy przez 𝑎, 𝑏, 𝑐,\na przekątną prostopadłościanu i przekątną ściany 𝐵𝐶𝐺𝐹 oznaczmy\nprzez 𝑑 oraz 𝑒. Warunki zadania zapiszmy jako:\ntg 𝛽= 9\n7 𝑒= 2√130 𝑑= 2√194\n1. Wyznaczymy zależność między 𝑏 oraz 𝑐 w trójkącie 𝐵𝐶𝐺:\ntg 𝛽= 𝑐\n𝑏= 9\n7\n, stąd 𝑐= 9\n7 𝑏\n2. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego\n𝐵𝐶𝐺, w celu obliczenia 𝑏 i 𝑐:\n𝑏2 + 𝑐2 = 𝑒2\nWykorzystamy związek z pkt. 1:\n𝑏2 + (9\n7 𝑏)\n2\n= (2√130)\n2\n130\n49 𝑏2 = 520\n𝑏2 = 196\nzatem\n𝑏= 14 oraz 𝑐= 9\n7 ⋅14 = 18\n3. Zauważmy, że trójkąt 𝐵𝐺𝐻 jest prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku 𝐺).\nZastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝐺𝐻, w celu obliczenia 𝑎.\n𝑒2 + 𝑎2 = 𝑑2\n(2√130)\n2 + 𝑎2 = (2√194)\n2\n𝑎2 = 256\n𝑎= 16\n4. Obliczymy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n𝑃𝑐= 2𝑎𝑏+ 2𝑏𝑐+ 2𝑎𝑐\n𝑃𝑐= 2 ⋅16 ⋅14 + 2 ⋅14 ⋅18 + 2 ⋅16 ⋅18\n𝑃𝑐= 1528\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐷\n𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝑎\n𝑏\n𝑐\n𝑑\n𝑒\n𝑎\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n115","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P_{c} = 1528$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-57.2.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":112,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 57.2. (0-4)<br>W prostopadłościanie 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 dane są:<br>tg 𝛽= 9<br>7 |𝐵𝐺| = 2√130 |𝐵𝐻| = 2√194<br>gdzie odcinek 𝐵𝐻 jest przekątną prostopadłościanu, odcinek 𝐵𝐺 jest przekątną ściany<br>bocznej 𝐵𝐶𝐺𝐹, 𝛽 jest miarą kąta 𝐺𝐵𝐶. Sytuację ilustruje rysunek poniżej.<br>Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐺<br>𝐻<br>𝛽<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>113<br>Wymagania ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>3.<br>Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,<br>w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>4.<br>Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Wymagania szczegółowe<br>X. Stereometria. Zdający:</p>\n<ol><li>rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np.</li></ol>\n<p>krawędziami, krawędziami i przekątnymi) […];</p>\n<ol><li>oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów […] również z wykorzystaniem</li></ol>\n<p>trygonometrii.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa oraz<br>podanie poprawnego wyniku: 𝑃𝑐= 1528.<br>3 pkt - poprawne obliczenie długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu:<br>|𝐵𝐶| = 14, |𝐶𝐺| = 18, |𝐺𝐻| = 16.<br>2 pkt - obliczenie długości dwóch krawędzi 𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐺: |𝐵𝐶| = 14 oraz |𝐶𝐺| = 18<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości krawędzi 𝐺𝐻: |𝐺𝐻| = 16 oraz zapisanie układu równań</li></ul>\n<p>z niewiadomymi |𝐵𝐶| oraz |𝐶𝐺| np.: |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = (2√130)<br>2 oraz<br>|𝐶𝐺|<br>|𝐵𝐶| = 9<br>7<br>1 pkt - zapisanie układu równań z niewiadomymi |𝐵𝐶| oraz |𝐶𝐺| np.:<br>|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = (2√130)<br>2 oraz<br>|𝐶𝐺|<br>|𝐵𝐶| = 9<br>7<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości krawędzi 𝐺𝐻: |𝐺𝐻| = 16.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>114<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Wprowadźmy oznaczenia dla odcinków (jak na rysunku obok) -<br>długości krawędzi prostopadłościanu oznaczmy przez 𝑎, 𝑏, 𝑐,<br>a przekątną prostopadłościanu i przekątną ściany 𝐵𝐶𝐺𝐹 oznaczmy<br>przez 𝑑 oraz 𝑒. Warunki zadania zapiszmy jako:<br>tg 𝛽= 9<br>7 𝑒= 2√130 𝑑= 2√194</p>\n<ol><li>Wyznaczymy zależność między 𝑏 oraz 𝑐 w trójkącie 𝐵𝐶𝐺:</li></ol>\n<p>tg 𝛽= 𝑐<br>𝑏= 9<br>7<br>, stąd 𝑐= 9<br>7 𝑏</p>\n<ol><li>Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego</li></ol>\n<p>𝐵𝐶𝐺, w celu obliczenia 𝑏 i 𝑐:<br>𝑏2 + 𝑐2 = 𝑒2<br>Wykorzystamy związek z pkt. 1:<br>𝑏2 + (9<br>7 𝑏)<br>2<br>= (2√130)<br>2<br>130<br>49 𝑏2 = 520<br>𝑏2 = 196<br>zatem<br>𝑏= 14 oraz 𝑐= 9<br>7 ⋅14 = 18</p>\n<ol><li>Zauważmy, że trójkąt 𝐵𝐺𝐻 jest prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku 𝐺).</li></ol>\n<p>Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝐺𝐻, w celu obliczenia 𝑎.<br>𝑒2 + 𝑎2 = 𝑑2<br>(2√130)<br>2 + 𝑎2 = (2√194)<br>2<br>𝑎2 = 256<br>𝑎= 16</p>\n<ol><li>Obliczymy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:</li></ol>\n<p>𝑃𝑐= 2𝑎𝑏+ 2𝑏𝑐+ 2𝑎𝑐<br>𝑃𝑐= 2 ⋅16 ⋅14 + 2 ⋅14 ⋅18 + 2 ⋅16 ⋅18<br>𝑃𝑐= 1528<br>𝐶<br>𝐸<br>𝐺<br>𝐻<br>𝐹<br>𝐷<br>𝛽<br>𝐴<br>𝐵<br>𝑎<br>𝑏<br>𝑐<br>𝑑<br>𝑒<br>𝑎<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>115</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P_{c} = 1528$</p>"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu: |BC|=b, |CG|=c, |GH|(=|BA|... właściwie<br>trzecia krawędź)=a. Przekątna ściany BCGF: e=|BG|=2√130, przekątna bryły: d=|BH|=2√194.</p>\n<ol><li>W trójkącie prostokątnym BCG: tg β = c/b = 9/7, więc c = (9/7)b.</li><li>Z tw. Pitagorasa: b²+c² = e² = (2√130)² = 520.</li></ol>\n<p>b² + (9/7)²b² = 520 → (130/49)b² = 520 → b² = 196 → b=14, c=(9/7)·14=18.</p>\n<ol><li>Trójkąt BGH jest prostokątny przy G. Z tw. Pitagorasa: e²+a² = d²</li></ol>\n<p>(2√130)² + a² = (2√194)² → 520+a²=776 → a²=256 → a=16.</p>\n<ol><li>Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2ab+2bc+2ac = 2·16·14 + 2·14·18 + 2·16·18 =</li></ol>\n<p>= 448+504+576 = 1528.<br>Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 1528.</p>"}]}