{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/59.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"59.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 59.2. (0-3)\nOblicz miarę kąta 𝑩𝑺𝑨 wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka\nopisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta 𝑩𝑺𝑨 podaj w zaokrągleniu do jednego\nstopnia.\n118\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.\nX. Stereometria. Zdający:\n5) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka\ni kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia miary kąta 𝐵𝑆𝐴 oraz podanie poprawnego wyniku\n|∡𝐵𝑆𝐴| ≈134°.\n2 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie związku 𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360° oraz zapisanie\nrównania wynikającego z twierdzenia Pitagorasa: 𝑙2 = 𝑟2 + 𝐻2.\n1 pkt - zapisanie równania 𝛼\n360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟\nALBO\n- zapisanie równania 𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadzimy oznaczenia:\n𝑟= 𝑑\n2 - promień okręgu w podstawie stożka\n𝛼= |∡𝐵𝑆𝐴| - miara kąta 𝐵𝑆𝐴 wycinka koła\n𝛽 - połowa miary kąta rozwarcia stożka\n𝐴\n𝑆\n𝑙\n𝐵\n𝛼\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝛽\n𝑟\n𝑂\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n119\nWyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).\n1. Zauważmy, że pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu\npowierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła oraz wzór na pole\npowierzchni bocznej stożka:\n𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙\n𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360°\nUwaga\nZauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła\ni kątem rozwarcia stożka:\n𝛼= sin 𝛽⋅360°\n2. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyrazimy 𝑙 poprzez 𝐻 i 𝑑:\n𝑙2 = 𝐻2 + 𝑟2\n𝑙2 = 𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n𝑙= √𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n3. Zapiszemy wzór na miarę kąta 𝛼 i ją obliczymy:\n𝛼=\n𝑑\n2\n√𝐻2 + (𝑑\n2)\n2 ⋅360°\n𝛼=\n10\n√252 + 102 ⋅360°\n𝛼≈134°\n120\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$ok 134^{\\circ}","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-59.2.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":117,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 59.2. (0-3)
Oblicz miarę kąta 𝑩𝑺𝑨 wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka
opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta 𝑩𝑺𝑨 podaj w zaokrągleniu do jednego
stopnia.
118
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,
tabel.
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
VIII. Planimetria. Zdający:

\n
  1. stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.
\n

X. Stereometria. Zdający:

\n
  1. oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka
\n

i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia miary kąta 𝐵𝑆𝐴 oraz podanie poprawnego wyniku
|∡𝐵𝑆𝐴| ≈134°.
2 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie związku 𝛼= 𝑟
𝑙⋅360° oraz zapisanie
równania wynikającego z twierdzenia Pitagorasa: 𝑙2 = 𝑟2 + 𝐻2.
1 pkt - zapisanie równania 𝛼
360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟
ALBO

\n\n

360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wprowadzimy oznaczenia:
𝑟= 𝑑
2 - promień okręgu w podstawie stożka
𝛼= |∡𝐵𝑆𝐴| - miara kąta 𝐵𝑆𝐴 wycinka koła
𝛽 - połowa miary kąta rozwarcia stożka
𝐴
𝑆
𝑙
𝐵
𝛼
𝑆
𝑙
𝐻
𝛽
𝑟
𝑂
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
119
Wyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).

\n
  1. Zauważmy, że pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu
\n

powierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła oraz wzór na pole
powierzchni bocznej stożka:
𝛼
360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙
𝛼= 𝑟
𝑙⋅360°
Uwaga
Zauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła
i kątem rozwarcia stożka:
𝛼= sin 𝛽⋅360°

\n
  1. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyrazimy 𝑙 poprzez 𝐻 i 𝑑:
\n

𝑙2 = 𝐻2 + 𝑟2
𝑙2 = 𝐻2 + (𝑑
2)
2
𝑙= √𝐻2 + (𝑑
2)
2

\n
  1. Zapiszemy wzór na miarę kąta 𝛼 i ją obliczymy:
\n

𝛼=
𝑑
2
√𝐻2 + (𝑑
2)
2 ⋅360°
𝛼=
10
√252 + 102 ⋅360°
𝛼≈134°
120
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$ok 134^{\\circ}

"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

r=d/2=10, H=25. Tworząca stożka: l=√(H²+r²)=√(625+100)=√725.
Pole wycinka koła ABS (powierzchnia boczna czapeczki) równa się polu powierzchni bocznej
stożka:
(α/360°)·πl² = πrl, stąd α = (r/l)·360°.
α = 10/√725 · 360° ≈ 134°.
Miara kąta BSA wynosi w przybliżeniu 134°.

"}]}