{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/60","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"60","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 60. (0-4)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona\ndo płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, a krawędź podstawy ma długość równą 6√3.\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n5) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka\ni kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz\npoprawne wyniki: 𝑉= 108 i 𝑃𝑐= 108 + 72√3 .\n3 pkt - obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉= 108 oraz obliczenie wysokości ściany bocznej\nostrosłupa: ℎś𝑏= 6\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐= 108 + 72√3 oraz\nobliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3.\n2 pkt - obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3 oraz obliczenie wysokości ściany bocznej\nostrosłupa: ℎś𝑏= 6\nALBO\n- obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉= 108,\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐= 108 + 72√3 .\n1 pkt - obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3\nALBO\n- obliczenie wysokości ściany bocznej ostrosłupa: ℎś𝑏= 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n121\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 3√3.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\ntg 30° =\n|𝑆𝑂|\n|𝑂𝐸| =\n|𝑆𝑂|\n3√3\nZatem\n|𝑆𝑂| = 3√3 ⋅tg 30° = 3√3 ⋅√3\n3 = 3\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:\n𝑉= 1\n3 ⋅(6√3)\n2 ⋅3 = 108\nPonadto\ncos 30° =\n|𝑂𝐸|\n|𝑆𝐸| = 3√3\n|𝑆𝐸|\nStąd\n|𝑆𝐸| ⋅cos 30° = 3√3\n|𝑆𝐸| ⋅√3\n2 = 3√3\n|𝑆𝐸| = 6\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 ostrosłupa:\n𝑃𝑐= (6√3)\n2 + 4 ⋅1\n2 ⋅6√3 ⋅6 = 108 + 72√3\n30°\n6ξ3\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐶\n122\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V = 108$, $P_C = 108 + 72\\sqrt{3}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-60.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":120,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 60. (0-4)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona
do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, a krawędź podstawy ma długość równą 6√3.
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
Wymaganie szczegółowe
X. Stereometria. Zdający:

\n
  1. oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka
\n

i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz
poprawne wyniki: 𝑉= 108 i 𝑃𝑐= 108 + 72√3 .
3 pkt - obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉= 108 oraz obliczenie wysokości ściany bocznej
ostrosłupa: ℎś𝑏= 6
ALBO

\n\n

obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3.
2 pkt - obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3 oraz obliczenie wysokości ściany bocznej
ostrosłupa: ℎś𝑏= 6
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

1 pkt - obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3
ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
121
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:
Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 3√3.
W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy
tg 30° =
|𝑆𝑂|
|𝑂𝐸| =
|𝑆𝑂|
3√3
Zatem
|𝑆𝑂| = 3√3 ⋅tg 30° = 3√3 ⋅√3
3 = 3
Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:
𝑉= 1
3 ⋅(6√3)
2 ⋅3 = 108
Ponadto
cos 30° =
|𝑂𝐸|
|𝑆𝐸| = 3√3
|𝑆𝐸|
Stąd
|𝑆𝐸| ⋅cos 30° = 3√3
|𝑆𝐸| ⋅√3
2 = 3√3
|𝑆𝐸| = 6
Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 ostrosłupa:
𝑃𝑐= (6√3)
2 + 4 ⋅1
2 ⋅6√3 ⋅6 = 108 + 72√3
30°
6ξ3
𝑆
𝐸
𝑂
𝐷
𝐵
𝐴
𝐶
122
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = 108$, $P_C = 108 + 72\\sqrt{3}$

"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Krawędź podstawy a=6√3. O - środek podstawy (przecięcie przekątnych kwadratu),
E - środek krawędzi podstawy. |OE| = a/2 = 3√3 (odległość środka kwadratu od środka
boku). Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt SEO=30°.
tg30° = |SO|/|OE|, więc |SO| = |OE|·tg30° = 3√3·(√3/3) = 3. Wysokość ostrosłupa H=3.
Objętość: V = (1/3)·a²·H = (1/3)·(6√3)²·3 = (1/3)·108·3 = 108.
Wysokość ściany bocznej |SE|: cos30° = |OE|/|SE|, więc |SE| = |OE|/cos30° =
3√3/(√3/2) = 6.
Pole powierzchni całkowitej: Pc = a² + 4·(1/2)·a·|SE| = (6√3)² + 4·(1/2)·6√3·6 =
= 108 + 72√3.
Odpowiedź: V = 108, Pc = 108 + 72√3.

"}]}