{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/62","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"62","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 62. (0-2)\nPojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych\npunktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca\nw każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille’a. Czarne kropki\nw znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak\nw piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.\nOblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].\nm\na\nt\nu\nr\ny\n124\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody do obliczenia wszystkich znaków, uwzględnienie\nwarunku zadania i podanie wyniku: 63.\n1 pkt - zapisanie wzoru na liczbę wszystkich możliwych znaków bez uwzględnienia warunku\nzadania (tzn. łącznie ze znakiem bez punktu wypukłego): 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2\nALBO\n- zastosowanie metody dodawania polegającej na bezpośrednim zliczeniu i dodaniu\nliczby znaków: z jednym punktem wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema\npunktami wypukłymi, z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami\nwypukłymi i z sześcioma punktami wypukłymi oraz poprawne zliczenie znaków\nw co najmniej trzech spośród sześciu wymienionych grup.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasady mnożenia)\nZastosujemy regułę mnożenia. Zauważmy, że utworzenie znaku polega na podjęciu kolejno\n6 decyzji o tym, jaki ma być rodzaj punktu - elementu znaku. Punkt może być wypukły albo\nmoże nie być wypukły. Zatem mamy dwie możliwości wyboru rodzaju punktu:\nalbo\nZgodnie z regułą mnożenia, w takich przypadkach liczbę możliwości wyboru\nskładnika/elementu obiektu mnożymy przez siebie tyle razy, z ilu elementów składa się\nobiekt:\n2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 64\nWszystkich możliwości (łącznie z utworzeniem konfiguracji 6 braków wypukłości) jest 64.\nPonieważ znak Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły, to wszystkich\nznaków jest:\n64 -1 = 63\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n125\nSposób 2. (bezpośrednie zliczenie liczby znaków z zastosowaniem zasady dodawania)\nBędziemy kolejno zliczać znaki: z jednym punktem wypukłym, z dwoma\npunktami wypukłymi, z trzema punktami wypukłymi, z czterema punktami\nwypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi i z sześcioma punktami\nwypukłymi. Zbiory znaków z daną liczbą punktów wypukłych oznaczymy\nodpowiednio jako: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, 𝐴5, 𝐴6.\nAby zliczanie przeprowadzić metodycznie, ułatwimy sobie zadanie\nnumerując punkty w polu znaku, jak na rysunku obok.\nW takiej konwencji, przykładowo:\n- znak oznaczymy jedną cyfrą: (2);\n- znak oznaczymy trójką cyfr: (1,3,4) - przy czym kolejność zapisu tych cyfr nie ma\nznaczenia.\n𝐴1 = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}, zatem |𝐴1| = 6\n𝐴2 =\n{\n(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),\n(2,3), (2,4), (2,5), (2,6),\n(3,4), (3,5), (3,6),\n(4,5), (4,6),\n(5,6) }\n, zatem |𝐴2| = 15\n𝐴3 =\n{\n(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),\n(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),\n(1,4,5), (1,4,6), (1,5,6),\n(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6),\n(2,4,5), (2,4,6), (2,5,6),\n(3,4,5), (3,4,6), (3,5,6),\n(4,5,6) }\n, zatem |𝐴3| = 20\nZauważmy, że każdemu znakowi z dwoma punktami wypukłymi możemy przyporządkować\nznak z czterema punktami wypukłymi, zamieniając punkty wypukłe na niewypukłe\ni odwrotnie:\nNp. znakowi\nprzyporządkujemy znak\nZatem znaków z czterema punktami wypukłymi jest tyle samo, co znaków z dwoma punktami\nwypukłymi. Podobnie argumentujemy, że znaków z pięcioma punktami wypukłymi jest tyle\nsamo co znaków z jednym punktem wypukłym. Stąd |𝐴4| = |𝐴2| = 15 oraz |𝐴5| = |𝐴1| = 6.\n𝐴6 = {(1,2,3,4,5,6)}, zatem |𝐴6| = 1\nWszystkich znaków w piśmie Braille’a jest: 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63.\n1\n4\n2\n5\n3\n6\n126\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"63","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-62.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":123,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 62. (0-2)
Pojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych
punktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca
w każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille’a. Czarne kropki
w znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak
w piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.
Oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
matematycznym, jak i popularnonaukowym […].
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
XI. Kombinatoryka. Zdający:

\n
  1. zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
  2. zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].
\n

m
a
t
u
r
y
124
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody do obliczenia wszystkich znaków, uwzględnienie
warunku zadania i podanie wyniku: 63.
1 pkt - zapisanie wzoru na liczbę wszystkich możliwych znaków bez uwzględnienia warunku
zadania (tzn. łącznie ze znakiem bez punktu wypukłego): 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2
ALBO

\n\n

liczby znaków: z jednym punktem wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema
punktami wypukłymi, z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami
wypukłymi i z sześcioma punktami wypukłymi oraz poprawne zliczenie znaków
w co najmniej trzech spośród sześciu wymienionych grup.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (zastosowanie zasady mnożenia)
Zastosujemy regułę mnożenia. Zauważmy, że utworzenie znaku polega na podjęciu kolejno
6 decyzji o tym, jaki ma być rodzaj punktu - elementu znaku. Punkt może być wypukły albo
może nie być wypukły. Zatem mamy dwie możliwości wyboru rodzaju punktu:
albo
Zgodnie z regułą mnożenia, w takich przypadkach liczbę możliwości wyboru
składnika/elementu obiektu mnożymy przez siebie tyle razy, z ilu elementów składa się
obiekt:
2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 64
Wszystkich możliwości (łącznie z utworzeniem konfiguracji 6 braków wypukłości) jest 64.
Ponieważ znak Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły, to wszystkich
znaków jest:
64 -1 = 63
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
125
Sposób 2. (bezpośrednie zliczenie liczby znaków z zastosowaniem zasady dodawania)
Będziemy kolejno zliczać znaki: z jednym punktem wypukłym, z dwoma
punktami wypukłymi, z trzema punktami wypukłymi, z czterema punktami
wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi i z sześcioma punktami
wypukłymi. Zbiory znaków z daną liczbą punktów wypukłych oznaczymy
odpowiednio jako: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, 𝐴5, 𝐴6.
Aby zliczanie przeprowadzić metodycznie, ułatwimy sobie zadanie
numerując punkty w polu znaku, jak na rysunku obok.
W takiej konwencji, przykładowo:

\n\n

znaczenia.
𝐴1 = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}, zatem |𝐴1| = 6
𝐴2 =
{
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,4), (3,5), (3,6),
(4,5), (4,6),
(5,6) }
, zatem |𝐴2| = 15
𝐴3 =
{
(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),
(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),
(1,4,5), (1,4,6), (1,5,6),
(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6),
(2,4,5), (2,4,6), (2,5,6),
(3,4,5), (3,4,6), (3,5,6),
(4,5,6) }
, zatem |𝐴3| = 20
Zauważmy, że każdemu znakowi z dwoma punktami wypukłymi możemy przyporządkować
znak z czterema punktami wypukłymi, zamieniając punkty wypukłe na niewypukłe
i odwrotnie:
Np. znakowi
przyporządkujemy znak
Zatem znaków z czterema punktami wypukłymi jest tyle samo, co znaków z dwoma punktami
wypukłymi. Podobnie argumentujemy, że znaków z pięcioma punktami wypukłymi jest tyle
samo co znaków z jednym punktem wypukłym. Stąd |𝐴4| = |𝐴2| = 15 oraz |𝐴5| = |𝐴1| = 6.
𝐴6 = {(1,2,3,4,5,6)}, zatem |𝐴6| = 1
Wszystkich znaków w piśmie Braille’a jest: 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63.
1
4
2
5
3
6
126
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

63

"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Znak Braille'a to 6 pól, z których każde jest wypukłe lub nie - z reguły mnożenia
liczba wszystkich konfiguracji (łącznie z pustą) to 2^6=64. Odejmujemy 1 konfigurację bez
żadnego punktu wypukłego (zabronioną przez warunek zadania):
64 - 1 = 63.
Liczba różnych znaków w piśmie Braille'a wynosi 63.

"}]}