{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/64","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"64","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 64. (0-4)\nSpośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba\nbędzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 𝟐\ni dokładnie jedna cyfra 𝟑.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 1\n25\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych\ndodatnich oraz ile pośród nich jest liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3 oraz podanie\npoprawnych wyników: |Ω| = 9 000, |𝐴| = 360.\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest czterocyfrowych, dodatnich liczb parzystych,\nw których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna\ncyfra 3, oraz podanie poprawnego wyniku: |𝐴| = 360\nALBO\n- zapisanie |Ω| = 9 000 oraz rozpisanie zbioru zdarzeń sprzyjających z poprawnie\nokreślonymi wszystkimi możliwymi pozycjami cyfr 2 i 3,\nALBO\n130\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\n- zapisanie |Ω| = 9 000 oraz poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb\nparzystych z ostatnią (i dokładnie jedną) cyfrą 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3\nw zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 176,\nALBO\n- zapisanie |Ω| = 9 000 oraz poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb\nparzystych z ostatnią cyfrą parzystą różną od 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3\ni dokładnie jedną cyfrą 2 w zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 184.\n1 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych\ndodatnich, i zapisanie wyniku: |Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000\nALBO\n- rozpisanie zbioru zdarzeń sprzyjających z poprawnie określonymi wszystkimi\nmożliwymi pozycjami cyfr 2 i 3,\nALBO\n- poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb parzystych z ostatnią (i dokładnie\njedną) cyfrą 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 w zapisie, łącznie z podaniem wyniku:\n176,\nALBO\n- poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb parzystych z ostatnią cyfrą\nparzystą różną od 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 i dokładnie jedną cyfrą 2\nw zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 184.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nZbiór zdarzeń elementarnych Ω składa się ze wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb\ndodatnich.\nSposób 1. obliczenia mocy zbioru Ω.\nNa diagramie poniżej rozpiszemy schemat liczby czterocyfrowej, gdzie dla każdej pozycji\nw zapisie dziesiętnym określimy, ile jest możliwości jej uzupełnienia.\nZgodnie z zasadą mnożenia, wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest:\n|Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n9 możliwości\nwyboru spośród\nሼ1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n131\nSposób 2. obliczenia mocy zbioru Ω.\nObliczymy liczbę wszystkich ciągów czterech cyfr (także z zerem na pierwszej pozycji).\nWszystkich ciągów czterech cyfr (także z zerem na pierwszej pozycji) jest\n10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 10 000. Od tej liczby należy odjąć liczbę takich ciągów czterech cyfr,\nw których na pierwszej pozycji występuje zero - jest ich 10 ⋅10 ⋅10 = 1 000.\nZatem wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest:\n|Ω| = 10 000 -1 000 = 9 000\n(ciąg dalszy rozwiązania)\nOkreślimy zdarzenie 𝐴 jako zbiór takich czterocyfrowych dodatnich liczb parzystych,\nw których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3.\nNa poniższych diagramach z pozycjami cyfr rozpiszemy schematy liczb czterocyfrowych,\nspełniających te warunki.\nLiczby parzyste, które mają cyfrę 2 na pozycji czwartej oraz cyfrę 3 na pozycjach\ntrzeciej, drugiej lub pierwszej:\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\nሼ0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n7 możliwości\nሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n8 możliwości\n{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n2\n3\n7 możliwości\nሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n8 możliwości\n{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n2\n3\n8 możliwości\n{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n8 możliwości\n{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n2\n3\n132\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nLiczby parzyste, które na ostatniej pozycji mają cyfrę parzystą różną od cyfry 2 oraz cyfry\n2 i 3 (dokładnie po jednej) na różnych pozycjach od pierwszej do trzeciej:\nLiczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających 𝐴 obliczymy z wykorzystaniem reguły\nmnożenia i dodawania łącznie:\n|𝐴| = 7 ⋅8 + 7 ⋅8 + 8 ⋅8 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 8 ⋅4 = 360\nObliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 360\n9000 = 1\n25\n8 możliwości\nሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n7 możliwości\nሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n8 możliwości\nሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n7 możliwości\nሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n8 możliwości\nሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n8 możliwości\nሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n133","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zbiór zdarzeń elementarnych: wszystkie liczby czterocyfrowe dodatnie,\n|Ω| = 9·10·10·10 = 9000 (cyfra tysięcy: 1-9, pozostałe cyfry: 0-9).\n\nZdarzenie A: liczba parzysta z dokładnie jedną cyfrą 2 i dokładnie jedną cyfrą 3 w zapisie.\nRozważamy dwa rozłączne przypadki.\n\nPrzypadek 1: cyfrą jedności jest 2. Wówczas cyfra 3 stoi na jednej z pozycji: tysięcy, setek\nlub dziesiątek, a pozostałe dwie z tych pozycji wypełniają cyfry różne od 2 i 3:\n- 3 na pozycji tysięcy: setki i dziesiątki - po 8 możliwości (cyfry różne od 2 i 3): 8·8=64.\n- 3 na pozycji setek: tysiące - 7 możliwości (różne od 0, 2, 3), dziesiątki - 8 możliwości: 7·8=56.\n- 3 na pozycji dziesiątek: tysiące - 7 możliwości, setki - 8 możliwości: 7·8=56.\nRazem w tym przypadku: 64+56+56 = 176.\n\nPrzypadek 2: cyfra jedności jest parzysta i różna od 2, czyli należy do {0,4,6,8} (4 możliwości\nwyboru cyfry jedności). Cyfry 2 i 3 zajmują wtedy dwie spośród pozostałych trzech pozycji\n(tysięcy, setek, dziesiątek), w jednej z dwóch możliwych kolejności, a trzecia z tych pozycji\nwypełniona jest cyfrą różną od 2 i 3:\n- gdy wolną pozycją są tysiące (2 i 3 stoją na pozycjach setek i dziesiątek, w 2 kolejnościach):\ntysiące nie mogą być 0, więc 7 możliwości: 2·7·4 = 56.\n- gdy wolną pozycją są setki (2 i 3 stoją na pozycjach tysięcy i dziesiątek, w 2 kolejnościach):\nwolna pozycja (setki) - 8 możliwości: 2·8·4 = 64.\n- gdy wolną pozycją są dziesiątki (2 i 3 stoją na pozycjach tysięcy i setek, w 2 kolejnościach):\nwolna pozycja (dziesiątki) - 8 możliwości: 2·8·4 = 64.\nRazem w tym przypadku: 56+64+64 = 184.\n\nŁącznie: |A| = 176 + 184 = 360.\nPrawdopodobieństwo: P(A) = |A|/|Ω| = 360/9000 = 1/25.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-64.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":129,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 64. (0-4)
Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba
będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 𝟐
i dokładnie jedna cyfra 𝟑.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
2.
Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na
ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.
Wymagania szczegółowe
XI. Kombinatoryka. Zdający:

\n
  1. zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].
\n

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:

\n
  1. oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
\n

Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 1
25
3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych
dodatnich oraz ile pośród nich jest liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym
występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3 oraz podanie
poprawnych wyników: |Ω| = 9 000, |𝐴| = 360.
2 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest czterocyfrowych, dodatnich liczb parzystych,
w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna
cyfra 3, oraz podanie poprawnego wyniku: |𝐴| = 360
ALBO

\n\n

określonymi wszystkimi możliwymi pozycjami cyfr 2 i 3,
ALBO
130
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

\n\n

parzystych z ostatnią (i dokładnie jedną) cyfrą 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3
w zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 176,
ALBO

\n\n

parzystych z ostatnią cyfrą parzystą różną od 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3
i dokładnie jedną cyfrą 2 w zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 184.
1 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych
dodatnich, i zapisanie wyniku: |Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000
ALBO

\n\n

możliwymi pozycjami cyfr 2 i 3,
ALBO

\n\n

jedną) cyfrą 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 w zapisie, łącznie z podaniem wyniku:
176,
ALBO

\n\n

parzystą różną od 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 i dokładnie jedną cyfrą 2
w zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 184.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Zbiór zdarzeń elementarnych Ω składa się ze wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb
dodatnich.
Sposób 1. obliczenia mocy zbioru Ω.
Na diagramie poniżej rozpiszemy schemat liczby czterocyfrowej, gdzie dla każdej pozycji
w zapisie dziesiętnym określimy, ile jest możliwości jej uzupełnienia.
Zgodnie z zasadą mnożenia, wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest:
|Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000
10 możliwości
wyboru spośród
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
9 możliwości
wyboru spośród
ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
10 możliwości
wyboru spośród
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
10 możliwości
wyboru spośród
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
131
Sposób 2. obliczenia mocy zbioru Ω.
Obliczymy liczbę wszystkich ciągów czterech cyfr (także z zerem na pierwszej pozycji).
Wszystkich ciągów czterech cyfr (także z zerem na pierwszej pozycji) jest
10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 10 000. Od tej liczby należy odjąć liczbę takich ciągów czterech cyfr,
w których na pierwszej pozycji występuje zero - jest ich 10 ⋅10 ⋅10 = 1 000.
Zatem wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest:
|Ω| = 10 000 -1 000 = 9 000
(ciąg dalszy rozwiązania)
Określimy zdarzenie 𝐴 jako zbiór takich czterocyfrowych dodatnich liczb parzystych,
w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3.
Na poniższych diagramach z pozycjami cyfr rozpiszemy schematy liczb czterocyfrowych,
spełniających te warunki.
Liczby parzyste, które mają cyfrę 2 na pozycji czwartej oraz cyfrę 3 na pozycjach
trzeciej, drugiej lub pierwszej:
10 możliwości
wyboru spośród
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
10 możliwości
wyboru spośród
ሼ0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
10 możliwości
wyboru spośród
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
10 możliwości
wyboru spośród
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
7 możliwości
ሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
8 możliwości
{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2
3
7 możliwości
ሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
8 możliwości
{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2
3
8 możliwości
{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
8 możliwości
{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2
3
132
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Liczby parzyste, które na ostatniej pozycji mają cyfrę parzystą różną od cyfry 2 oraz cyfry
2 i 3 (dokładnie po jednej) na różnych pozycjach od pierwszej do trzeciej:
Liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających 𝐴 obliczymy z wykorzystaniem reguły
mnożenia i dodawania łącznie:
|𝐴| = 7 ⋅8 + 7 ⋅8 + 8 ⋅8 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 8 ⋅4 = 360
Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 360
9000 = 1
25
8 możliwości
ሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
4 możliwości
{0, 4, 6, 8}
2
3
7 możliwości
ሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
4 możliwości
{0, 4, 6, 8}
2
3
8 możliwości
ሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
4 możliwości
{0, 4, 6, 8}
2
3
7 możliwości
ሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
4 możliwości
{0, 4, 6, 8}
2
3
8 możliwości
ሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
4 możliwości
{0, 4, 6, 8}
2
3
8 możliwości
ሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ
4 możliwości
{0, 4, 6, 8}
2
3
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
133

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Zbiór zdarzeń elementarnych: wszystkie liczby czterocyfrowe dodatnie,
|Ω| = 9·10·10·10 = 9000 (cyfra tysięcy: 1-9, pozostałe cyfry: 0-9).

\n

Zdarzenie A: liczba parzysta z dokładnie jedną cyfrą 2 i dokładnie jedną cyfrą 3 w zapisie.
Rozważamy dwa rozłączne przypadki.

\n

Przypadek 1: cyfrą jedności jest 2. Wówczas cyfra 3 stoi na jednej z pozycji: tysięcy, setek
lub dziesiątek, a pozostałe dwie z tych pozycji wypełniają cyfry różne od 2 i 3:

\n\n

Razem w tym przypadku: 64+56+56 = 176.

\n

Przypadek 2: cyfra jedności jest parzysta i różna od 2, czyli należy do {0,4,6,8} (4 możliwości
wyboru cyfry jedności). Cyfry 2 i 3 zajmują wtedy dwie spośród pozostałych trzech pozycji
(tysięcy, setek, dziesiątek), w jednej z dwóch możliwych kolejności, a trzecia z tych pozycji
wypełniona jest cyfrą różną od 2 i 3:

\n\n

tysiące nie mogą być 0, więc 7 możliwości: 2·7·4 = 56.

\n\n

wolna pozycja (setki) - 8 możliwości: 2·8·4 = 64.

\n\n

wolna pozycja (dziesiątki) - 8 możliwości: 2·8·4 = 64.
Razem w tym przypadku: 56+64+64 = 184.

\n

Łącznie: |A| = 176 + 184 = 360.
Prawdopodobieństwo: P(A) = |A|/|Ω| = 360/9000 = 1/25.

"}]}