{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/7","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-2)\nUdowodnij, że liczba 𝟑𝟒𝟓+ 𝟗𝟐𝟐+ 𝟐𝟕𝟏𝟒 jest podzielna przez 𝟑𝟕.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […];\n4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach\ni pierwiastkach.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 345 + 922 + 2714 do postaci 342 ⋅37.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 345 + 922 + 2714 do postaci 345 + 344 + 342.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystając z własności działań na potęgach, otrzymujemy\n345 + 922 + 2714 = 345 + (32)22 + (33)14 = 345 + 344 + 342\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n345 + 344 + 342 = 342(33 + 32 + 1) = 342 ⋅37\nLiczba 342 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 345 + 922 + 2714 jest podzielna przez 37.\n20\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"3^45 + 9^22 + 27^14 = 3^45 + (3²)^22 + (3³)^14 = 3^45 + 3^44 + 3^42 =\n= 3^42·(3³+3²+1) = 3^42·(27+9+1) = 3^42·37\nLiczba 3^42 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 3^45+9^22+27^14 jest podzielna przez 37.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":19,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 7. (0-2)
Udowodnij, że liczba 𝟑𝟒𝟓+ 𝟗𝟐𝟐+ 𝟐𝟕𝟏𝟒 jest podzielna przez 𝟑𝟕.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
Wymagania szczegółowe
I.
Liczby rzeczywiste. Zdający:

\n
  1. przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt
\n

z dzielenia […];

\n
  1. stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach
\n

i pierwiastkach.
Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie wyrażenia 345 + 922 + 2714 do postaci 342 ⋅37.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia 345 + 922 + 2714 do postaci 345 + 344 + 342.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Korzystając z własności działań na potęgach, otrzymujemy
345 + 922 + 2714 = 345 + (32)22 + (33)14 = 345 + 344 + 342
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
345 + 344 + 342 = 342(33 + 32 + 1) = 342 ⋅37
Liczba 342 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 345 + 922 + 2714 jest podzielna przez 37.
20
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

3^45 + 9^22 + 27^14 = 3^45 + (3²)^22 + (3³)^14 = 3^45 + 3^44 + 3^42 =
= 3^42·(3³+3²+1) = 3^42·(27+9+1) = 3^42·37
Liczba 3^42 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 3^45+9^22+27^14 jest podzielna przez 37.

"}]}