{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"1","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (0-6)\nDany jest układ równań\n{𝑚𝑥+ 𝑦= 𝑚2\n4𝑥+ 𝑚𝑦= 8\n(1)\nz niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 oraz parametrem 𝑚∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których układ jest oznaczony, a para\nliczb (𝒙, 𝒚) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek |𝒙+ 𝒚| < 𝟐.\nZapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n13\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n1)\nprzekształca równania i nierówności w sposób równoważny […].\n1R) rozwiązuje […] nierówności wielomianowe […];\n2R) rozwiązuje równania i nierówności wymierne […];\n4R) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.\nIV. Układy równań. Zdający:\n1)\nrozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi […].\n14\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n5 pkt - rozwiązanie nierówności 𝑚2-2𝑚+4\n𝑚+2\n> -2 oraz 𝑚2-2𝑚+4\n𝑚+2\n< 2\nALBO\n- rozwiązanie nierówności 2𝑚+ 4 > 𝑚2 -2𝑚+ 4 oraz 2𝑚+ 4 < -𝑚2 + 2𝑚-4.\n4 pkt - rozwiązanie jednej z nierówności\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 lub 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\nALBO\n- zapisanie alternatywy 2𝑚+ 4 > 𝑚2 -2𝑚+ 4 lub 2𝑚+ 4 < -𝑚2 + 2𝑚-4.\n3 pkt - zapisanie dwóch nierówności\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\nALBO\n- uzasadnienie, że 𝑚2 -2𝑚+ 4 > 0 dla każdego 𝑚∈ℝ oraz zapisanie\nnierówności 𝑚2-2𝑚+4\n|𝑚+2|\n< 2.\n2 pkt - wyznaczenie z układu (1) 𝑥 oraz 𝑦.\n1 pkt - określenie wartości parametru 𝑚, dla jakich układ jest oznaczony i wyznaczenie\nz układu (1) 𝑥 lub 𝑦.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSposób 1.\nRozwiązujemy układ (1) metodą podstawiania. Z pierwszego równania układu\nwyznaczamy 𝑦:\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥\ni wstawiamy do drugiego równania układu:\n4𝑥+ 𝑚(𝑚2 -𝑚𝑥) = 8\n(4 -𝑚2)𝑥= 8 -𝑚3\nZatem układ jest oznaczony, gdy 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}. Wtedy\n𝑥= 8 -𝑚3\n4 -𝑚2 = (2 -𝑚)(4 + 2𝑚+ 𝑚2)\n(2 -𝑚)(2 + 𝑚)\n= 4 + 2𝑚+ 𝑚2\n𝑚+ 2\nStąd\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥= 𝑚2 -𝑚⋅𝑚2 + 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n= 𝑚3 + 2𝑚2 -𝑚(𝑚2 + 2𝑚+ 4)\n𝑚+ 2\n= -4𝑚\n𝑚+ 2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n15\nWyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których prawdziwa jest nierówność |𝑥+ 𝑦| < 2:\n|4 + 2𝑚+ 𝑚2\n2 + 𝑚\n+ -4𝑚\n𝑚+ 2| < 2\n|𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n| < 2\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n+ 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2 > 0 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n-2𝑚+ 4\n𝑚+ 2 < 0\n𝑚2 + 8\n2 + 𝑚> 0 i 𝑚2 -4𝑚\n2 + 𝑚\n< 0\n(𝑚2 + 8)(𝑚+ 2) > 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2} i (𝑚2 -4𝑚)(𝑚+ 2) < 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\n𝑚∈(-2, 2) ∪(2, +∞) i 𝑚∈(-∞, -2) ∪(0, 2) ∪(2, 4)\nZatem warunki zadania są spełnione tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0, 2) ∪(2, 4).\nSposób 2.\nRozwiązujemy układ (1) metodą podstawiania. Z pierwszego równania układu\nwyznaczamy 𝑦:\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥\ni wstawiamy do drugiego równania układu:\n4𝑥+ 𝑚(𝑚2 -𝑚𝑥) = 8\n(4 -𝑚2)𝑥= 8 -𝑚3\nZatem układ jest oznaczony, gdy 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}. Wtedy\n𝑥= 8 -𝑚3\n4 -𝑚2 = (2 -𝑚)(4 + 2𝑚+ 𝑚2)\n(2 -𝑚)(2 + 𝑚)\n= 4 + 2𝑚+ 𝑚2\n𝑚+ 2\nStąd\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥= 𝑚2 -𝑚⋅𝑚2 + 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n= 𝑚3 + 2𝑚2 -𝑚(𝑚2 + 2𝑚+ 4)\n𝑚+ 2\n= -4𝑚\n𝑚+ 2\nWyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których prawdziwa jest nierówność |𝑥+ 𝑦| < 2:\n16\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n|4 + 2𝑚+ 𝑚2\n2 + 𝑚\n+ -4𝑚\n𝑚+ 2| < 2\n|𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n| < 2\nPonieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego 𝑚2 -2𝑚+ 4 jest dodatni i współczynnik przy\n𝑚2 jest dodatni, wiec 𝑚2 -2𝑚+ 4 > 0 dla każdego 𝑚∈ℝ. Uwzględniając to,\notrzymujemy dalej\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n|𝑚+ 2|\n< 2\n|2𝑚+ 4| > 𝑚2 -2𝑚+ 4 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\n( 2𝑚+ 4 > 𝑚2 -2𝑚+ 4 lub 2𝑚+ 4 < -𝑚2 + 2𝑚-4 ) i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\n( 𝑚(𝑚-4) < 0 lub 𝑚2 + 8 < 0 ) i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\nNierówność 𝑚(𝑚-4) < 0 spełniona jest dla 𝑚∈(0, 4).\nNierówność 𝑚2 + 8 < 0 jest sprzeczna.\nZatem warunki zadania są spełnione tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0, 4) i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}, czyli\ngdy 𝑚∈(0, 2) ∪(2, 4).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Układ jest oznaczony gdy m² - 4 ≠ 0, czyli m ≠ ±2. Rozwiązując układ: x = (m² + 2m + 4)/(m + 2), y = -4m/(m + 2). Wtedy x + y = (m² - 2m + 4)/(m + 2). Ponieważ m² - 2m + 4 = (m-1)² + 3 > 0, dla m > -2 warunek |x+y| < 2 prowadzi do m(m-4) < 0, czyli 0 < m < 4. Dla m < -2 brak rozwiązań. Wynik: m ∈ (0, 2) ∪ (2, 4).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":12,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-6)<br>Dany jest układ równań<br>{𝑚𝑥+ 𝑦= 𝑚2<br>4𝑥+ 𝑚𝑦= 8<br>(1)<br>z niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 oraz parametrem 𝑚∈ℝ.<br>Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których układ jest oznaczony, a para<br>liczb (𝒙, 𝒚) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek |𝒙+ 𝒚| &lt; 𝟐.<br>Zapisz obliczenia.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>13<br>Wymaganie ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>3.<br>Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,<br>w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Równania i nierówności. Zdający:<br>1)<br>przekształca równania i nierówności w sposób równoważny […].<br>1R) rozwiązuje […] nierówności wielomianowe […];<br>2R) rozwiązuje równania i nierówności wymierne […];<br>4R) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.<br>IV. Układy równań. Zdający:<br>1)<br>rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi […].<br>14<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025<br>Zasady oceniania<br>dla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.<br>6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.<br>5 pkt - rozwiązanie nierówności 𝑚2-2𝑚+4<br>𝑚+2</p>\n<blockquote>-2 oraz 𝑚2-2𝑚+4</blockquote>\n<p>𝑚+2<br>&lt; 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie nierówności 2𝑚+ 4 &gt; 𝑚2 -2𝑚+ 4 oraz 2𝑚+ 4 &lt; -𝑚2 + 2𝑚-4.</li></ul>\n<p>4 pkt - rozwiązanie jednej z nierówności<br>𝑚2 -2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2</p>\n<blockquote>-2 lub 𝑚2 -2𝑚+ 4</blockquote>\n<p>𝑚+ 2<br>&lt; 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie alternatywy 2𝑚+ 4 &gt; 𝑚2 -2𝑚+ 4 lub 2𝑚+ 4 &lt; -𝑚2 + 2𝑚-4.</li></ul>\n<p>3 pkt - zapisanie dwóch nierówności<br>𝑚2 -2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2</p>\n<blockquote>-2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4</blockquote>\n<p>𝑚+ 2<br>&lt; 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>uzasadnienie, że 𝑚2 -2𝑚+ 4 &gt; 0 dla każdego 𝑚∈ℝ oraz zapisanie</li></ul>\n<p>nierówności 𝑚2-2𝑚+4<br>|𝑚+2|<br>&lt; 2.<br>2 pkt - wyznaczenie z układu (1) 𝑥 oraz 𝑦.<br>1 pkt - określenie wartości parametru 𝑚, dla jakich układ jest oznaczony i wyznaczenie<br>z układu (1) 𝑥 lub 𝑦.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Sposób 1.<br>Rozwiązujemy układ (1) metodą podstawiania. Z pierwszego równania układu<br>wyznaczamy 𝑦:<br>𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥<br>i wstawiamy do drugiego równania układu:<br>4𝑥+ 𝑚(𝑚2 -𝑚𝑥) = 8<br>(4 -𝑚2)𝑥= 8 -𝑚3<br>Zatem układ jest oznaczony, gdy 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}. Wtedy<br>𝑥= 8 -𝑚3<br>4 -𝑚2 = (2 -𝑚)(4 + 2𝑚+ 𝑚2)<br>(2 -𝑚)(2 + 𝑚)<br>= 4 + 2𝑚+ 𝑚2<br>𝑚+ 2<br>Stąd<br>𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥= 𝑚2 -𝑚⋅𝑚2 + 2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2<br>= 𝑚3 + 2𝑚2 -𝑚(𝑚2 + 2𝑚+ 4)<br>𝑚+ 2<br>= -4𝑚<br>𝑚+ 2<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>15<br>Wyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których prawdziwa jest nierówność |𝑥+ 𝑦| &lt; 2:<br>|4 + 2𝑚+ 𝑚2<br>2 + 𝑚</p>\n<ul><li>-4𝑚</li></ul>\n<p>𝑚+ 2| &lt; 2<br>|𝑚2 -2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2<br>| &lt; 2<br>𝑚2 -2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2</p>\n<blockquote>-2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4</blockquote>\n<p>𝑚+ 2<br>&lt; 2<br>𝑚2 -2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2</p>\n<ul><li>2𝑚+ 4</li></ul>\n<p>𝑚+ 2 &gt; 0 i 𝑚2 -2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2<br>-2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2 &lt; 0<br>𝑚2 + 8<br>2 + 𝑚&gt; 0 i 𝑚2 -4𝑚<br>2 + 𝑚<br>&lt; 0<br>(𝑚2 + 8)(𝑚+ 2) &gt; 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2} i (𝑚2 -4𝑚)(𝑚+ 2) &lt; 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}<br>𝑚∈(-2, 2) ∪(2, +∞) i 𝑚∈(-∞, -2) ∪(0, 2) ∪(2, 4)<br>Zatem warunki zadania są spełnione tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0, 2) ∪(2, 4).<br>Sposób 2.<br>Rozwiązujemy układ (1) metodą podstawiania. Z pierwszego równania układu<br>wyznaczamy 𝑦:<br>𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥<br>i wstawiamy do drugiego równania układu:<br>4𝑥+ 𝑚(𝑚2 -𝑚𝑥) = 8<br>(4 -𝑚2)𝑥= 8 -𝑚3<br>Zatem układ jest oznaczony, gdy 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}. Wtedy<br>𝑥= 8 -𝑚3<br>4 -𝑚2 = (2 -𝑚)(4 + 2𝑚+ 𝑚2)<br>(2 -𝑚)(2 + 𝑚)<br>= 4 + 2𝑚+ 𝑚2<br>𝑚+ 2<br>Stąd<br>𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥= 𝑚2 -𝑚⋅𝑚2 + 2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2<br>= 𝑚3 + 2𝑚2 -𝑚(𝑚2 + 2𝑚+ 4)<br>𝑚+ 2<br>= -4𝑚<br>𝑚+ 2<br>Wyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których prawdziwa jest nierówność |𝑥+ 𝑦| &lt; 2:<br>16<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025<br>|4 + 2𝑚+ 𝑚2<br>2 + 𝑚</p>\n<ul><li>-4𝑚</li></ul>\n<p>𝑚+ 2| &lt; 2<br>|𝑚2 -2𝑚+ 4<br>𝑚+ 2<br>| &lt; 2<br>Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego 𝑚2 -2𝑚+ 4 jest dodatni i współczynnik przy<br>𝑚2 jest dodatni, wiec 𝑚2 -2𝑚+ 4 &gt; 0 dla każdego 𝑚∈ℝ. Uwzględniając to,<br>otrzymujemy dalej<br>𝑚2 -2𝑚+ 4<br>|𝑚+ 2|<br>&lt; 2<br>|2𝑚+ 4| &gt; 𝑚2 -2𝑚+ 4 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}<br>( 2𝑚+ 4 &gt; 𝑚2 -2𝑚+ 4 lub 2𝑚+ 4 &lt; -𝑚2 + 2𝑚-4 ) i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}<br>( 𝑚(𝑚-4) &lt; 0 lub 𝑚2 + 8 &lt; 0 ) i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}<br>Nierówność 𝑚(𝑚-4) &lt; 0 spełniona jest dla 𝑚∈(0, 4).<br>Nierówność 𝑚2 + 8 &lt; 0 jest sprzeczna.<br>Zatem warunki zadania są spełnione tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0, 4) i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}, czyli<br>gdy 𝑚∈(0, 2) ∪(2, 4).</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Układ jest oznaczony gdy m² - 4 ≠ 0, czyli m ≠ ±2. Rozwiązując układ: x = (m² + 2m + 4)/(m + 2), y = -4m/(m + 2). Wtedy x + y = (m² - 2m + 4)/(m + 2). Ponieważ m² - 2m + 4 = (m-1)² + 3 &gt; 0, dla m &gt; -2 warunek |x+y| &lt; 2 prowadzi do m(m-4) &lt; 0, czyli 0 &lt; m &lt; 4. Dla m &lt; -2 brak rozwiązań. Wynik: m ∈ (0, 2) ∪ (2, 4).</p>"}]}