{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/10","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (0-6)\nCztery miasta 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna\nfirma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych\nmiast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie\nnajmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast,\nprzedstawiono na poniższym rysunku).\nOblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być\nzlokalizowane węzły tej sieci. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\nwęzły\n300 km\n300 km\n34\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n35\nZasady oceniania\n6 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów\nwzględem miast.\n5 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami.\n4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.\n3 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓.\n2 pkt - zapisanie długości sieci w zależności od odległości węzłów od prostych -\nodpowiednio - 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶.\n1 pkt - uzasadnienie, że węzły muszą się znajdować na symetralnej odcinka 𝐴𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy sieć dróg złożoną z odcinków 𝐴𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝐶, 𝐵𝐿 i 𝐷𝐾 (zobacz rysunek 1.).\nProwadzimy prostą 𝑝 równoległą do 𝐴𝐷 i przechodzącą przez 𝐾 i zaznaczamy na niej\npunkt 𝐾’ taki, że |𝐴𝐾′| = |𝐷𝐾′|.\nProwadzimy prostą równoległą do 𝐵𝐶 i przechodzącą przez 𝐿 i zaznaczamy na niej\npunkt 𝐿’ taki, że |𝐵𝐿′| = |𝐶𝐿′| (zobacz rysunek 2.).\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐾\n𝐿\nRysunek 2.\n𝐾′\n𝐿′\n𝑝\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐾\n𝐿\nRysunek 1.\n36\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPokażemy, że sieć dróg z węzłami 𝐾 i 𝐿 można zastąpić siecią krótszą - z węzłami 𝐾’\noraz 𝐿’.\nNiech 𝐷’ będzie punktem symetrycznym do punktu 𝐷 względem prostej 𝑝. Wówczas\npunkty 𝐷’, 𝐾’ oraz 𝐴 są współliniowe, więc\n|𝐷𝐾| + |𝐾𝐴| = |𝐷′𝐾| + |𝐾𝐴| ≥|𝐷′𝐴| = |𝐷𝐾′| + |𝐾′𝐴|\nPodobnie pokazujemy, że |𝐵𝐿| + |𝐿𝐶| ≥|𝐵𝐿′| + |𝐿′𝐶|. Ponadto odcinek 𝐾′𝐿′ jest\nrównoległy do prostej 𝐴𝐵, więc |𝐾′𝐿′| ≤|𝐾𝐿|. Zatem sieć dróg z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest\nkrótsza niż z węzłami 𝐾 i 𝐿.\nOznaczmy odległość punktu 𝐾′ od prostej 𝐴𝐷 przez 𝑥, natomiast punktu 𝐿′ od\nprostej 𝐵𝐶 - przez 𝑦. Długość 𝑑 sieci z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest równa\n𝑑= 2√1502 + 𝑥2 + 2√1502 + 𝑦2 + 300 -𝑥-𝑦\ngdzie 𝑥∈[0, 300), 𝑦∈[0, 300) i 𝑥+ 𝑦< 300.\nZbadamy funkcję 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 określoną dla 𝑥∈[0, 300).\n𝑓′(𝑥) = 2 ⋅1\n2 ⋅\n1\n√1502 + 𝑥2 ⋅2𝑥-1 =\n2𝑥\n√1502 + 𝑥2 -1\n𝑓′(𝑥) = 0\n2𝑥\n√(1502 + 𝑥2)\n= 1\n4𝑥2 = 𝑥2 + 1502\n𝑥= 50√3\n𝑓′(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥∈(50√3, 300)\n𝑓′(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥∈[0, 50√3)\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [0, 50√3] i rosnąca w przedziale [50√3, 300).\nNajmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie 𝑥= 50√3 i wartość ta jest równa\n𝑓(50√3) = 150√3.\nZatem\n𝑑= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 300 ≥300(1 + √3)\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 𝑦= 50√3. Najkrótsza sieć dróg ma\nzatem długość 300(1 + √3) km i składa się z 5 odcinków: 𝐴𝐾′, 𝐾′𝐿′, 𝐿′𝐶, 𝐵𝐿′ i 𝐷𝐾′.\nWęzeł 𝐾′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐴 i 𝐷, natomiast\nwęzeł 𝐿′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐵 i 𝐶 (zobacz\nrysunek 2.).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n37\nZauważmy jeszcze, że w przypadku sieci dróg z jednym węzłem, najkrótsza taka sieć będzie\nmiała długość równą 600√2 km (i węzeł w środku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷). Będzie więc dłuższa\nniż sieć z dwoma węzłami.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Kwadrat ABCD ma bok 300 km. Węzły K i L można tak przesunąć, aby leżały na symetralnych przeciwległych boków: K na symetralnej odcinka AD, a L na symetralnej odcinka BC (zastąpienie dowolnej sieci siecią krótszą wynika z nierówności trójkąta). Oznaczmy przez x odległość węzła K od prostej AD, a przez y odległość węzła L od prostej BC, gdzie x,y ∈ [0,300) oraz x + y < 300. Długość sieci wynosi d = 2√(150² + x²) + 2√(150² + y²) + 300 - x - y. Rozpatrujemy f(x) = 2√(150² + x²) - x. Wtedy f'(x) = 2x/√(150² + x²) - 1, a f'(x) = 0 daje 2x = √(150² + x²), czyli 4x² = x² + 150², skąd x = 50√3. Ponieważ f'(x) < 0 dla x∈[0,50√3) i f'(x) > 0 dla x∈(50√3,300), funkcja f osiąga minimum w x = 50√3 i f(50√3) = 2√(150² + 7500) - 50√3 = 2·100√3 - 50√3 = 150√3. Zatem d ≥ 2·150√3 + 300 = 300(1 + √3), przy czym równość zachodzi dla x = y = 50√3. Najkrótsza sieć ma długość 300(1 + √3) km ≈ 819,6 km; węzły leżą na symetralnych odcinków AD i BC, każdy w odległości 100√3 km od dwóch sąsiednich miast.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":33,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 10. (0-6)
Cztery miasta 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna
firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych
miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie
najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast,
przedstawiono na poniższym rysunku).
Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być
zlokalizowane węzły tej sieci. Zapisz obliczenia.
𝐴
𝐶
𝐷
𝐵
węzły
300 km
300 km
34
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymagania szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
i funkcji złożonej;
5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
35
Zasady oceniania
6 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów
względem miast.
5 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami.
4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.
3 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓.
2 pkt - zapisanie długości sieci w zależności od odległości węzłów od prostych -
odpowiednio - 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶.
1 pkt - uzasadnienie, że węzły muszą się znajdować na symetralnej odcinka 𝐴𝐷.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Rozpatrzmy sieć dróg złożoną z odcinków 𝐴𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝐶, 𝐵𝐿 i 𝐷𝐾 (zobacz rysunek 1.).
Prowadzimy prostą 𝑝 równoległą do 𝐴𝐷 i przechodzącą przez 𝐾 i zaznaczamy na niej
punkt 𝐾’ taki, że |𝐴𝐾′| = |𝐷𝐾′|.
Prowadzimy prostą równoległą do 𝐵𝐶 i przechodzącą przez 𝐿 i zaznaczamy na niej
punkt 𝐿’ taki, że |𝐵𝐿′| = |𝐶𝐿′| (zobacz rysunek 2.).
𝐴
𝐶
𝐷
𝐵
𝐾
𝐿
Rysunek 2.
𝐾′
𝐿′
𝑝
𝐴
𝐶
𝐷
𝐵
𝐾
𝐿
Rysunek 1.
36
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Pokażemy, że sieć dróg z węzłami 𝐾 i 𝐿 można zastąpić siecią krótszą - z węzłami 𝐾’
oraz 𝐿’.
Niech 𝐷’ będzie punktem symetrycznym do punktu 𝐷 względem prostej 𝑝. Wówczas
punkty 𝐷’, 𝐾’ oraz 𝐴 są współliniowe, więc
|𝐷𝐾| + |𝐾𝐴| = |𝐷′𝐾| + |𝐾𝐴| ≥|𝐷′𝐴| = |𝐷𝐾′| + |𝐾′𝐴|
Podobnie pokazujemy, że |𝐵𝐿| + |𝐿𝐶| ≥|𝐵𝐿′| + |𝐿′𝐶|. Ponadto odcinek 𝐾′𝐿′ jest
równoległy do prostej 𝐴𝐵, więc |𝐾′𝐿′| ≤|𝐾𝐿|. Zatem sieć dróg z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest
krótsza niż z węzłami 𝐾 i 𝐿.
Oznaczmy odległość punktu 𝐾′ od prostej 𝐴𝐷 przez 𝑥, natomiast punktu 𝐿′ od
prostej 𝐵𝐶 - przez 𝑦. Długość 𝑑 sieci z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest równa
𝑑= 2√1502 + 𝑥2 + 2√1502 + 𝑦2 + 300 -𝑥-𝑦
gdzie 𝑥∈[0, 300), 𝑦∈[0, 300) i 𝑥+ 𝑦< 300.
Zbadamy funkcję 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 określoną dla 𝑥∈[0, 300).
𝑓′(𝑥) = 2 ⋅1
2 ⋅
1
√1502 + 𝑥2 ⋅2𝑥-1 =
2𝑥
√1502 + 𝑥2 -1
𝑓′(𝑥) = 0
2𝑥
√(1502 + 𝑥2)
= 1
4𝑥2 = 𝑥2 + 1502
𝑥= 50√3
𝑓′(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥∈(50√3, 300)
𝑓′(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥∈[0, 50√3)
Funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [0, 50√3] i rosnąca w przedziale [50√3, 300).
Najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie 𝑥= 50√3 i wartość ta jest równa
𝑓(50√3) = 150√3.
Zatem
𝑑= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 300 ≥300(1 + √3)
przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 𝑦= 50√3. Najkrótsza sieć dróg ma
zatem długość 300(1 + √3) km i składa się z 5 odcinków: 𝐴𝐾′, 𝐾′𝐿′, 𝐿′𝐶, 𝐵𝐿′ i 𝐷𝐾′.
Węzeł 𝐾′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐴 i 𝐷, natomiast
węzeł 𝐿′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐵 i 𝐶 (zobacz
rysunek 2.).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
37
Zauważmy jeszcze, że w przypadku sieci dróg z jednym węzłem, najkrótsza taka sieć będzie
miała długość równą 600√2 km (i węzeł w środku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷). Będzie więc dłuższa
niż sieć z dwoma węzłami.

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Kwadrat ABCD ma bok 300 km. Węzły K i L można tak przesunąć, aby leżały na symetralnych przeciwległych boków: K na symetralnej odcinka AD, a L na symetralnej odcinka BC (zastąpienie dowolnej sieci siecią krótszą wynika z nierówności trójkąta). Oznaczmy przez x odległość węzła K od prostej AD, a przez y odległość węzła L od prostej BC, gdzie x,y ∈ [0,300) oraz x + y < 300. Długość sieci wynosi d = 2√(150² + x²) + 2√(150² + y²) + 300 - x - y. Rozpatrujemy f(x) = 2√(150² + x²) - x. Wtedy f'(x) = 2x/√(150² + x²) - 1, a f'(x) = 0 daje 2x = √(150² + x²), czyli 4x² = x² + 150², skąd x = 50√3. Ponieważ f'(x) < 0 dla x∈[0,50√3) i f'(x) > 0 dla x∈(50√3,300), funkcja f osiąga minimum w x = 50√3 i f(50√3) = 2√(150² + 7500) - 50√3 = 2·100√3 - 50√3 = 150√3. Zatem d ≥ 2·150√3 + 300 = 300(1 + √3), przy czym równość zachodzi dla x = y = 50√3. Najkrótsza sieć ma długość 300(1 + √3) km ≈ 819,6 km; węzły leżą na symetralnych odcinków AD i BC, każdy w odległości 100√3 km od dwóch sąsiednich miast.

"}]}