Zadanie 12. (0-4)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 0,5 ⋅(2𝑥+ 1)4 dla każdego 𝑥∈ℝ.
Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji. Zapisz obliczenia.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
39
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymagania szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
i funkcji złożonej;
5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑓 przyjmuje
wartość najmniejszą dla 𝑥= -1
3.
2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑓.
1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 2.
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
40
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
3 pkt - zapisanie, że funkcja kwadratowa 𝑦= 6𝑥2 + 4𝑥+ 1 osiąga wartość najmniejszą
równą 1
3 dla 𝑥= -1
3.
2 pkt - zapisanie nierówności
√2
3 ⋅𝑓(𝑥) ≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1
3
1 pkt - zapisanie nierówności
√𝑥4 + 𝑥4 + (2𝑥+ 1)4
3
≥𝑥2 + 𝑥2 + (2𝑥+ 1)2
3
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 3.
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
3 pkt - przekształcenie wyrażenia 9𝑡4 + 4𝑡3 + 2𝑡2 + 1
54 do postaci
9𝑡2 ((𝑡+ 2
9)
2
54
2 pkt - zastosowanie wzoru na czwartą potęgę sumy / różnicy dwóch wyrażeń i zapisanie
𝑓(𝑡-1
54 .
1 pkt - zastosowanie podstawienia 𝑡= 𝑥-1
3 i zapisanie 𝑓(𝑡-1
(𝑡-1
3)
4
2 ⋅(2 (𝑡-1
\n4
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓, korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej:
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 0,5 ⋅4(2𝑥+ 1)3 ⋅2 dla 𝑥∈ℝ .
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:
4𝑥3 + 0,5 ⋅4(2𝑥+ 1)3 ⋅2 = 0
𝑥3 + (2𝑥+ 1)3 = 0
𝑥3 + 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥+ 1 = 0
9𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥+ 1 = 0
9𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥2 + 3𝑥+ 3𝑥+ 1 = 0
3𝑥2(3𝑥+ 1) + 3𝑥(3𝑥+ 1) + (3𝑥+ 1) = 0
(3𝑥+ 1)(3𝑥2 + 3𝑥+ 1) = 0
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
41
3𝑥+ 1 = 0 lub 3𝑥2 + 3𝑥+ 1 = 0
Pierwsze z tych równań ma rozwiązanie 𝑥= -1
3 , natomiast drugie jest sprzeczne.
Sprawdzamy, czy w punkcie 𝑥= -1
3 funkcja 𝑓 osiąga ekstremum. Badamy
monotoniczność funkcji 𝑓, stosując rachunek pochodnych.
Ponieważ 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 0,5 ⋅4(2𝑥+ 1)3 ⋅2 = 4(3𝑥+ 1)(3𝑥2 + 3𝑥+ 1), więc
𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(-∞, -1
3)
𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(-1
3 , +∞)
Zatem
funkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze (-∞, -1
3]
funkcja 𝑓 jest rosnąca w zbiorze [-1
3 , +∞),
co oznacza, że w punkcie 𝑥= -1
3 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne, będące jednocześnie
minimum globalnym. Funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą równą
𝑓(-1
3)
4
3)
4
= 1
54
Sposób 2.
Korzystamy z nierówności między średnimi liczbowymi.
Dla każdych liczb nieujemnych 𝑎, 𝑏, 𝑐 średnia kwadratowa z tych liczb jest nie mniejsza od
średniej arytmetycznej tych liczb:
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
3
≥𝑎+ 𝑏+ 𝑐
3
Niech 𝑥 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Korzystając z nierówności między średnią
kwadratową a arytmetyczną liczb nieujemnych 𝑥2, 𝑥2, (2𝑥+ 1)2, otrzymujemy:
√𝑥4 + 𝑥4 + (2𝑥+ 1)4
3
≥𝑥2 + 𝑥2 + (2𝑥+ 1)2
3
√2𝑥4 + (2𝑥+ 1)4
3
≥2𝑥2 + (2𝑥+ 1)2
3
42
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
√2
3 ⋅𝑥4 + 0,5(2𝑥+ 1)4
1
≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1
3
√2
3 ⋅𝑓(𝑥) ≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1
3
dla każdego 𝑥∈ℝ.
Funkcja kwadratowa 𝑦= 6𝑥2 + 4𝑥+ 1 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= -4
2⋅6 = -1
3
równą 6 (-1
3)
2
3 , więc
√2
3 ⋅𝑓(𝑥) ≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1
3
≥1
9
𝑓(𝑥) ≥1
54
dla każdego 𝑥∈ℝ.
Ponieważ
𝑓(-1
3)
4
3)
4
= 1
54
więc najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest równa 1
54 .
Sposób 3.
Niech 𝑡= 𝑥+ 1
3 dla 𝑥∈ℝ. Wtedy
𝑓(𝑡-1
3)
4
2 ⋅(2 (𝑡-1
\n4
= (𝑡-1
3)
4
2 ⋅(2𝑡+ 1
3)
4
dla 𝑡∈ℝ
Wykorzystamy dwukrotnie wzór na czwartą potęgę sumy dwóch składników:
(𝑎+ 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏+ 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4
Wówczas
𝑓(𝑡-1
3 + 6𝑡2 ⋅1
9 -4𝑡⋅1
27 + 1
81 +
2 (16𝑡4 + 4 ⋅8𝑡3 ⋅1
3 + 6 ⋅4𝑡2 ⋅1
9 + 4 ⋅2𝑡⋅1
27 + 1
= 9𝑡4 + 4𝑡3 + 2𝑡2 + 1
54 = 9𝑡2 (𝑡2 + 4
9 𝑡+ 2
54 =
= 9𝑡2 ((𝑡+ 2
9)
2
54
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
43
Ponieważ dla każdego 𝑡∈ℝ prawdziwe są nierówności:
(𝑡+ 2
9)
2
81 > 0 i 9𝑡2 ≥0
więc 𝑓(𝑡-1
54 , przy czym 𝑓(𝑡-1
\n54 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑡= 0 (czyli dla
𝑥= -1
3 ).
Zatem najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest równa 1
54 .
Wyznaczamy pochodną: f'(x) = 4x³ + 0,5·4(2x+1)³·2 = 4x³ + 4(2x+1)³ = 4[x³ + (2x+1)³]. Miejsca zerowe: x³ + (2x+1)³ = 0, czyli x³ + 8x³ + 12x² + 6x + 1 = 0, 9x³ + 12x² + 6x + 1 = 0. Grupując: 3x²(3x+1) + 3x(3x+1) + (3x+1) = 0, (3x+1)(3x²+3x+1) = 0. Trójmian 3x²+3x+1 ma Δ = 9-12 < 0, więc jego jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest x = -1/3. Ponieważ f'(x) = 4(3x+1)(3x²+3x+1) i trójmian jest zawsze dodatni, to f'(x) < 0 dla x < -1/3 i f'(x) > 0 dla x > -1/3; funkcja maleje na (-∞,-1/3] i rośnie na [-1/3,+∞), więc w x = -1/3 ma minimum globalne. f(-1/3) = (-1/3)⁴ + 0,5·(2·(-1/3)+1)⁴ = 1/81 + 0,5·(1/3)⁴ = 1/81 + 1/162 = 3/162 = 1/54. Najmniejsza wartość funkcji to 1/54.
"}]}