{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/13","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-4)\nW nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym (𝑎𝑛), określonym dla 𝑛≥1, jest\nspełniony warunek\n𝑎5 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6.\nWyznacz wzór ogólny na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏). Zapisz obliczenia.\n44\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n2R) rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - obliczenie ilorazu ciągu oraz zapisanie równania 𝑎1⋅𝑞\n1-𝑞2 = 6.\n2 pkt - zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑞 i 𝑎1, które pozwalają na obliczenie\nilorazu ciągu oraz pierwszego wyrazu ciągu\nALBO\n- obliczenie ilorazu ciągu.\n1 pkt - zapisanie równania 𝑞2 + 1 = 29\n25 albo 𝑎1⋅𝑞\n1-𝑞2 = 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ warunku\n𝑎5 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\noraz z informacji o monotoniczności ciągu otrzymamy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎3 ⋅𝑞2 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\n𝑞2 + 1 = 29\n25\n𝑞= 2\n5 lub 𝑞= -2\n5\nCiąg jest malejący, więc 𝑞= 2\n5 .\nPonieważ dla 𝑞= 2\n5 ciąg ten jest zbieżny, więc sumę\n𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + … = 6\nmożemy zapisać następująco:\n𝑎1 ⋅𝑞\n1 -𝑞2 = 6\ni otrzymujemy\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n45\n𝑎1 ⋅2\n5\n1 -(2\n5)\n2 = 6\n𝑎1 = 63\n5\nWzór ogólny ciągu ma postać: 𝑎𝑛= 63\n5 ⋅(2\n5)\n𝑛-1","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z warunku (a₅+a₃)/a₃ = 29/25 mamy (a₃q²+a₃)/a₃ = 29/25, czyli q² + 1 = 29/25, skąd q² = 4/25 i q = 2/5 lub q = -2/5. Ciąg jest malejący (malejący i zbieżny do 0), więc q = 2/5. Suma wyrazów o numerach parzystych to szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a₂ = a₁q i ilorazie q²: a₁q/(1-q²) = 6. Stąd a₁·(2/5)/(1-4/25) = 6, czyli a₁·(2/5)/(21/25) = 6, a₁·(10/21) = 6, więc a₁ = 126/10 = 63/5. Wzór ogólny: aₙ = (63/5)·(2/5)^{n-1}.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":43,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 13. (0-4)
W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym (𝑎𝑛), określonym dla 𝑛≥1, jest
spełniony warunek
𝑎5 + 𝑎3
𝑎3
= 29
25
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6.
Wyznacz wzór ogólny na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏). Zapisz obliczenia.
44
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymaganie szczegółowe
VI. Ciągi. Zdający:
2R) rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
3 pkt - obliczenie ilorazu ciągu oraz zapisanie równania 𝑎1⋅𝑞
1-𝑞2 = 6.
2 pkt - zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑞 i 𝑎1, które pozwalają na obliczenie
ilorazu ciągu oraz pierwszego wyrazu ciągu
ALBO

\n\n

1 pkt - zapisanie równania 𝑞2 + 1 = 29
25 albo 𝑎1⋅𝑞
1-𝑞2 = 6.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Z warunku
𝑎5 + 𝑎3
𝑎3
= 29
25
oraz z informacji o monotoniczności ciągu otrzymamy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛):
𝑎3 ⋅𝑞2 + 𝑎3
𝑎3
= 29
25
𝑞2 + 1 = 29
25
𝑞= 2
5 lub 𝑞= -2
5
Ciąg jest malejący, więc 𝑞= 2
5 .
Ponieważ dla 𝑞= 2
5 ciąg ten jest zbieżny, więc sumę
𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + … = 6
możemy zapisać następująco:
𝑎1 ⋅𝑞
1 -𝑞2 = 6
i otrzymujemy
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
45
𝑎1 ⋅2
5
1 -(2
5)
2 = 6
𝑎1 = 63
5
Wzór ogólny ciągu ma postać: 𝑎𝑛= 63
5 ⋅(2
5)
𝑛-1

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Z warunku (a₅+a₃)/a₃ = 29/25 mamy (a₃q²+a₃)/a₃ = 29/25, czyli q² + 1 = 29/25, skąd q² = 4/25 i q = 2/5 lub q = -2/5. Ciąg jest malejący (malejący i zbieżny do 0), więc q = 2/5. Suma wyrazów o numerach parzystych to szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a₂ = a₁q i ilorazie q²: a₁q/(1-q²) = 6. Stąd a₁·(2/5)/(1-4/25) = 6, czyli a₁·(2/5)/(21/25) = 6, a₁·(10/21) = 6, więc a₁ = 126/10 = 63/5. Wzór ogólny: aₙ = (63/5)·(2/5)^{n-1}.

"}]}