{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/14","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥6 -2𝑥4 -𝑥3 + 1 dla każdego 𝑥∈ℝ.\nWykaż, że liczba 𝟓 należy do zbioru wartości tej funkcji.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\n46\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest mniejsza od 5 wraz z obliczeniem wartości funkcji dla tego\nargumentu i wskazanie argumentu, dla którego wartość funkcji jest większa od 5\nwraz z obliczeniem wartości funkcji dla tego argumentu.\n1 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest mniejsza od 5 i obliczenie wartości funkcji dla tego argumentu\nALBO\n- uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest większa od 5 i obliczenie wartości funkcji dla tego argumentu,\nALBO\n- wskazanie argumentu, dla którego wartość funkcji jest mniejsza od 5 wraz\nz obliczeniem wartości funkcji dla tego argumentu i wskazanie argumentu, dla\nktórego wartość funkcji jest większa od 5 wraz z obliczeniem wartości funkcji dla\ntego argumentu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ jest funkcją\nwielomianową.\nPonieważ 𝑓(0) = 1 oraz 𝑓(2) = 64 -32 -8 + 1 = 25 i funkcja jest ciągła na\nprzedziale (0, 2), więc, na mocy twierdzenia Darboux, przyjmuje w przedziale (0, 2)\nwszystkie wartości pośrednie pomiędzy 𝑓(0) a 𝑓(2). Wobec tego istnieje taki argument\n𝑥∈(0, 2), dla którego zachodzi 𝑓(𝑥) = 5. To oznacza, że liczba 5 należy do zbioru\nwartości funkcji.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Funkcja f(x) = x⁶ - 2x⁴ - x³ + 1 jest wielomianowa, a więc ciągła w ℝ. Obliczamy wartości: f(0) = 1 oraz f(2) = 2⁶ - 2·2⁴ - 2³ + 1 = 64 - 32 - 8 + 1 = 25. Skoro f(0) = 1 < 5 < 25 = f(2) i f jest ciągła na przedziale [0,2], to na mocy twierdzenia Darboux przyjmuje w przedziale (0,2) wszystkie wartości pośrednie między 1 i 25, w szczególności wartość 5. Istnieje więc argument x ∈ (0,2) taki, że f(x) = 5, czyli liczba 5 należy do zbioru wartości funkcji f.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":45,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-3)<br>Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥6 -2𝑥4 -𝑥3 + 1 dla każdego 𝑥∈ℝ.<br>Wykaż, że liczba 𝟓 należy do zbioru wartości tej funkcji.<br>Wymaganie ogólne<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>1.<br>Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.<br>46<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025<br>Wymaganie szczegółowe<br>XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:<br>2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.<br>2 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego<br>wartość funkcji jest mniejsza od 5 wraz z obliczeniem wartości funkcji dla tego<br>argumentu i wskazanie argumentu, dla którego wartość funkcji jest większa od 5<br>wraz z obliczeniem wartości funkcji dla tego argumentu.<br>1 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego<br>wartość funkcji jest mniejsza od 5 i obliczenie wartości funkcji dla tego argumentu<br>ALBO</p>\n<ul><li>uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego</li></ul>\n<p>wartość funkcji jest większa od 5 i obliczenie wartości funkcji dla tego argumentu,<br>ALBO</p>\n<ul><li>wskazanie argumentu, dla którego wartość funkcji jest mniejsza od 5 wraz</li></ul>\n<p>z obliczeniem wartości funkcji dla tego argumentu i wskazanie argumentu, dla<br>którego wartość funkcji jest większa od 5 wraz z obliczeniem wartości funkcji dla<br>tego argumentu.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ jest funkcją<br>wielomianową.<br>Ponieważ 𝑓(0) = 1 oraz 𝑓(2) = 64 -32 -8 + 1 = 25 i funkcja jest ciągła na<br>przedziale (0, 2), więc, na mocy twierdzenia Darboux, przyjmuje w przedziale (0, 2)<br>wszystkie wartości pośrednie pomiędzy 𝑓(0) a 𝑓(2). Wobec tego istnieje taki argument<br>𝑥∈(0, 2), dla którego zachodzi 𝑓(𝑥) = 5. To oznacza, że liczba 5 należy do zbioru<br>wartości funkcji.</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Funkcja f(x) = x⁶ - 2x⁴ - x³ + 1 jest wielomianowa, a więc ciągła w ℝ. Obliczamy wartości: f(0) = 1 oraz f(2) = 2⁶ - 2·2⁴ - 2³ + 1 = 64 - 32 - 8 + 1 = 25. Skoro f(0) = 1 &lt; 5 &lt; 25 = f(2) i f jest ciągła na przedziale [0,2], to na mocy twierdzenia Darboux przyjmuje w przedziale (0,2) wszystkie wartości pośrednie między 1 i 25, w szczególności wartość 5. Istnieje więc argument x ∈ (0,2) taki, że f(x) = 5, czyli liczba 5 należy do zbioru wartości funkcji f.</p>"}]}