{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/15","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-3)\nRozwiąż równanie\n(𝟑-𝟐𝐜𝐨𝐬𝒙)𝟐= 𝟖𝐬𝐢𝐧𝟐(𝒙\n𝟐) -𝟖𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙\n𝟐) + 𝟏𝟐\nw zbiorze (𝟎, 𝝅). Zapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n47\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n6R) rozwiązuje równania trygonometryczne.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - rozwiązanie równania 4 cos2 𝑥-4 cos 𝑥-3 = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n48\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równoważnie równanie\ndo prostszej postaci:\n(3 -2 cos 𝑥)2 = 8 sin2 (𝑥\n2) -8 cos2 (𝑥\n2) + 12\n9 -12 cos 𝑥+ 4 cos2 𝑥= -8 (cos2 𝑥\n2 -sin2 𝑥\n2) + 12\n4 cos2 𝑥-12 cos 𝑥+ 9 = -8 cos (2 ⋅𝑥\n2) + 12\n4 cos2 𝑥-4 cos 𝑥-3 = 0\ncos 𝑥= -1\n2 ∨ cos 𝑥= 3\n2\nPonieważ 3\n2 ∉[-1, 1], więc cos 𝑥= -1\n2 .\nKorzystamy z wykresu funkcji cosinus i zapisujemy rozwiązanie równania cos 𝑥= -1\n2\nw przedziale (0, 𝜋):\n𝑥= 2\n3 𝜋","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie: (3 - 2cos x)² = 8sin²(x/2) - 8cos²(x/2) + 12. Lewa strona: 9 - 12cos x + 4cos²x. Prawa: -8(cos²(x/2) - sin²(x/2)) + 12 = -8cos x + 12. Zatem 9 - 12cos x + 4cos²x = -8cos x + 12, czyli 4cos²x - 4cos x - 3 = 0. Rozwiązujemy równanie kwadratowe zmiennej cos x: Δ = 16 + 48 = 64, cos x = (4-8)/8 = -1/2 lub cos x = (4+8)/8 = 3/2. Ponieważ 3/2 ∉ [-1,1], zostaje cos x = -1/2. W przedziale (0, π) rozwiązaniem jest x = 2π/3. Odpowiedź: x = 2π/3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":46,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-3)<br>Rozwiąż równanie<br>(𝟑-𝟐𝐜𝐨𝐬𝒙)𝟐= 𝟖𝐬𝐢𝐧𝟐(𝒙</p>\n<ol><li>-𝟖𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙</li><li>+ 𝟏𝟐</li></ol>\n<p>w zbiorze (𝟎, 𝝅). Zapisz obliczenia.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>47<br>Wymagania ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>2.<br>Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na<br>ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.<br>Wymaganie szczegółowe<br>VII. Trygonometria. Zdający:<br>6R) rozwiązuje równania trygonometryczne.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.<br>2 pkt - rozwiązanie równania 4 cos2 𝑥-4 cos 𝑥-3 = 0.<br>1 pkt - zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>48<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równoważnie równanie<br>do prostszej postaci:<br>(3 -2 cos 𝑥)2 = 8 sin2 (𝑥</p>\n<ol><li>-8 cos2 (𝑥</li><li>+ 12</li></ol>\n<p>9 -12 cos 𝑥+ 4 cos2 𝑥= -8 (cos2 𝑥<br>2 -sin2 𝑥</p>\n<ol><li>+ 12</li></ol>\n<p>4 cos2 𝑥-12 cos 𝑥+ 9 = -8 cos (2 ⋅𝑥</p>\n<ol><li>+ 12</li></ol>\n<p>4 cos2 𝑥-4 cos 𝑥-3 = 0<br>cos 𝑥= -1<br>2 ∨ cos 𝑥= 3<br>2<br>Ponieważ 3<br>2 ∉[-1, 1], więc cos 𝑥= -1<br>2 .<br>Korzystamy z wykresu funkcji cosinus i zapisujemy rozwiązanie równania cos 𝑥= -1<br>2<br>w przedziale (0, 𝜋):<br>𝑥= 2<br>3 𝜋</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie: (3 - 2cos x)² = 8sin²(x/2) - 8cos²(x/2) + 12. Lewa strona: 9 - 12cos x + 4cos²x. Prawa: -8(cos²(x/2) - sin²(x/2)) + 12 = -8cos x + 12. Zatem 9 - 12cos x + 4cos²x = -8cos x + 12, czyli 4cos²x - 4cos x - 3 = 0. Rozwiązujemy równanie kwadratowe zmiennej cos x: Δ = 16 + 48 = 64, cos x = (4-8)/8 = -1/2 lub cos x = (4+8)/8 = 3/2. Ponieważ 3/2 ∉ [-1,1], zostaje cos x = -1/2. W przedziale (0, π) rozwiązaniem jest x = 2π/3. Odpowiedź: x = 2π/3.</p>"}]}