{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/16","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"16","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-3)\nWykaż, że równanie 𝒙𝟒-𝟕𝒙𝟑+ 𝟗𝒙𝟐+ 𝟖𝒙-𝟐= 𝟎 ma w przedziale (-𝟐, 𝟐) co\nnajmniej dwa różne rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n49\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań […];\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 takich trzech argumentów\n𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 leżących w przedziale (-2, 2), dla których 𝑓(𝑥1) > 0, 𝑓(𝑥2) < 0\ni 𝑓(𝑥3) > 0, oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest ciągła.\n1 pkt - podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 takich dwóch argumentów\n𝑥1 < 𝑥2 leżących w przedziale (-2, 2), dla których 𝑓(𝑥1) ⋅𝑓(𝑥2) < 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 dla 𝑥∈ℝ.\nObliczamy wartości funkcji 𝑓 w kilku punktach przedziału (-2, 2):\n𝑓(-1) = (-1)4 -7 ⋅(-1)3 + 9 ⋅(-1)2 + 8 ⋅(-1) -2 = 7\n𝑓(0) = -2\n𝑓(1) = 14 -7 ⋅13 + 9 ⋅12 + 8 ⋅1 -2 = 9\nFunkcja 𝑓 jest ciągła jako funkcja wielomianowa, więc na mocy twierdzenia Darboux\nfunkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (-1, 0) wszystkie wartości ze zbioru (-2, 7).\nZatem istnieje 𝑥1 ∈(-1,0) takie, że 𝑓(𝑥1) = 0.\nPodobnie, funkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (0, 1) wszystkie wartości ze zbioru (-2, 9),\nwięc istnieje 𝑥2 ∈(0, 1) takie, że 𝑓(𝑥2) = 0.\nTo oznacza, że w przedziale (-2, 2) równanie podane w treści zadania ma co najmniej\ndwa różne rozwiązania.\n50\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech f(x) = x⁴ - 7x³ + 9x² + 8x - 2. Funkcja jest wielomianowa, a więc ciągła w ℝ. Obliczamy wartości w punktach przedziału (-2,2): f(-1) = 1 + 7 + 9 - 8 - 2 = 7, f(0) = -2, f(1) = 1 - 7 + 9 + 8 - 2 = 9. Ponieważ f(-1) = 7 > 0, f(0) = -2 < 0, a f jest ciągła na [-1,0], z twierdzenia Darboux istnieje x₁ ∈ (-1,0) takie, że f(x₁) = 0. Podobnie f(0) = -2 < 0, f(1) = 9 > 0 i ciągłość na [0,1] dają x₂ ∈ (0,1) z f(x₂) = 0. Oba pierwiastki leżą w przedziale (-2,2) i są różne (jeden ujemny, drugi dodatni), więc równanie ma w (-2,2) co najmniej dwa różne rozwiązania.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":48,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-3)<br>Wykaż, że równanie 𝒙𝟒-𝟕𝒙𝟑+ 𝟗𝒙𝟐+ 𝟖𝒙-𝟐= 𝟎 ma w przedziale (-𝟐, 𝟐) co<br>najmniej dwa różne rozwiązania.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>49<br>Wymagania ogólne<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>1.<br>Przeprowadzanie rozumowań […];<br>4.<br>Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Wymaganie szczegółowe<br>XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:<br>2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.<br>2 pkt - podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 takich trzech argumentów<br>𝑥1 &lt; 𝑥2 &lt; 𝑥3 leżących w przedziale (-2, 2), dla których 𝑓(𝑥1) &gt; 0, 𝑓(𝑥2) &lt; 0<br>i 𝑓(𝑥3) &gt; 0, oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest ciągła.<br>1 pkt - podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 takich dwóch argumentów<br>𝑥1 &lt; 𝑥2 leżących w przedziale (-2, 2), dla których 𝑓(𝑥1) ⋅𝑓(𝑥2) &lt; 0.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Niech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 dla 𝑥∈ℝ.<br>Obliczamy wartości funkcji 𝑓 w kilku punktach przedziału (-2, 2):<br>𝑓(-1) = (-1)4 -7 ⋅(-1)3 + 9 ⋅(-1)2 + 8 ⋅(-1) -2 = 7<br>𝑓(0) = -2<br>𝑓(1) = 14 -7 ⋅13 + 9 ⋅12 + 8 ⋅1 -2 = 9<br>Funkcja 𝑓 jest ciągła jako funkcja wielomianowa, więc na mocy twierdzenia Darboux<br>funkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (-1, 0) wszystkie wartości ze zbioru (-2, 7).<br>Zatem istnieje 𝑥1 ∈(-1,0) takie, że 𝑓(𝑥1) = 0.<br>Podobnie, funkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (0, 1) wszystkie wartości ze zbioru (-2, 9),<br>więc istnieje 𝑥2 ∈(0, 1) takie, że 𝑓(𝑥2) = 0.<br>To oznacza, że w przedziale (-2, 2) równanie podane w treści zadania ma co najmniej<br>dwa różne rozwiązania.<br>50<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Niech f(x) = x⁴ - 7x³ + 9x² + 8x - 2. Funkcja jest wielomianowa, a więc ciągła w ℝ. Obliczamy wartości w punktach przedziału (-2,2): f(-1) = 1 + 7 + 9 - 8 - 2 = 7, f(0) = -2, f(1) = 1 - 7 + 9 + 8 - 2 = 9. Ponieważ f(-1) = 7 &gt; 0, f(0) = -2 &lt; 0, a f jest ciągła na [-1,0], z twierdzenia Darboux istnieje x₁ ∈ (-1,0) takie, że f(x₁) = 0. Podobnie f(0) = -2 &lt; 0, f(1) = 9 &gt; 0 i ciągłość na [0,1] dają x₂ ∈ (0,1) z f(x₂) = 0. Oba pierwiastki leżą w przedziale (-2,2) i są różne (jeden ujemny, drugi dodatni), więc równanie ma w (-2,2) co najmniej dwa różne rozwiązania.</p>"}]}