{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/18","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"18","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.\nRozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich\nkrawędzi jest równa 80, pole powierzchni całkowitej jest równe 256 i długości wszystkich\nkrawędzi są nie mniejsze niż 4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wspólna treść zadania 18. Niech a, b, c będą długościami krawędzi prostopadłościanu (a,b,c ≥ 4). Suma długości krawędzi: 4a + 4b + 4c = 80, czyli a + b + c = 20. Pole powierzchni: 2ab + 2bc + 2ca = 256, czyli ab + bc + ca = 128. Dla ustalonego c liczby a i b są pierwiastkami równania t² - (20-c)t + (c²-20c+128) = 0. Warunek istnienia rozwiązań a,b ≥ 4 prowadzi (część 18.1) do c ∈ [4, 28/3]. Objętość prostopadłościanu (część 18.2): V = abc = c[ab] = c[(128 - c(a+b))] = c(c² - 20c + 128) = c³ - 20c² + 128c. Jej najmniejsza wartość na przedziale [4, 28/3] wynosi 256 (osiągana dla c = 4 lub c = 8).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":52,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 18.
Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich
krawędzi jest równa 80, pole powierzchni całkowitej jest równe 256 i długości wszystkich
krawędzi są nie mniejsze niż 4.

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Wspólna treść zadania 18. Niech a, b, c będą długościami krawędzi prostopadłościanu (a,b,c ≥ 4). Suma długości krawędzi: 4a + 4b + 4c = 80, czyli a + b + c = 20. Pole powierzchni: 2ab + 2bc + 2ca = 256, czyli ab + bc + ca = 128. Dla ustalonego c liczby a i b są pierwiastkami równania t² - (20-c)t + (c²-20c+128) = 0. Warunek istnienia rozwiązań a,b ≥ 4 prowadzi (część 18.1) do c ∈ [4, 28/3]. Objętość prostopadłościanu (część 18.2): V = abc = c[ab] = c[(128 - c(a+b))] = c(c² - 20c + 128) = c³ - 20c² + 128c. Jej najmniejsza wartość na przedziale [4, 28/3] wynosi 256 (osiągana dla c = 4 lub c = 8).

"}]}