Zadanie 18.1. (0-4)
Wykaż, że układ równań
𝟒𝒂+ 𝟒𝒃+ 𝟒𝒄= 𝟖𝟎
(1)
𝟐𝒂𝒃+ 𝟐𝒃𝒄+ 𝟐𝒄𝒂= 𝟐𝟓𝟔
(2)
z niewiadomymi 𝒂 oraz 𝒃 ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie
mniejszych od 𝟒 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝒄∈[𝟒, 28
3 ].
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
53
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych;
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
3.
[…] tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania […].
Wymaganie szczegółowe
IIII. Równania i nierówności. Zdający:
5R) analizuje równania i nierówności kwadratowe z parametrami […], podaje warunki,
przy których rozwiązania […] należą do określonego przedziału […].
54
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Zasady oceniania
4 pkt - powołanie się na odpowiednie własności funkcji 𝑓 prowadzące do wniosku, że układ
(1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.
3 pkt - przyjęcie założenia 𝑐∈[4, 28
3 ] i zbudowanie funkcji
𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) dla podanego zakresu parametru 𝑐.
2 pkt - obliczenie wyróżnika równania i podanie argumentacji prowadzącej do wniosku
𝑐∈[4, 28
3 ].
1 pkt - przyjęcie założenia, że układ (1)-(2) ma rozwiązanie i zapisanie prawidłowego
równania kwadratowego z niewiadomą 𝑎 (lub 𝑏) i parametrem 𝑐.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Załóżmy, że układ równań (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie
mniejszych od 4. Wtedy
{ 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 20
𝑎𝑏+ 𝑏𝑐+ 𝑐𝑎= 128
(3)
Przekształcamy układ równań do postaci, w której otrzymamy równanie kwadratowe
z niewiadomą 𝑎 i parametrem 𝑐:
{𝑏= 20 -𝑎-𝑐
𝑎(20 -𝑎-𝑐) + (20 -𝑎-𝑐)𝑐+ 𝑐𝑎= 128
{𝑏= 20 -𝑎-𝑐
-𝑎2 + (-𝑐+ 20)𝑎+ (-𝑐2 + 20𝑐-128) = 0
{𝑏= 20 -𝑎-𝑐
𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0
Równanie 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0 ma z założenia rozwiązanie, więc
wyróżnik Δ𝑎 jest nieujemny, co prowadzi do:
Δ𝑎≥0
(𝑐-20)2 -4(𝑐2 -20𝑐+ 128) ≥0
-3𝑐2 + 40𝑐-112 ≥0
-3(𝑐-4) (𝑐-28
3 ) ≥0
𝑐∈[4, 28
3 ]
Jeśli 𝑐∈[4, 28
3 ], to funkcja 𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma co najmniej
jedno miejsce zerowe (gdyż Δ𝑎≥0).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
55
Wykresem funkcji 𝑓 jest parabola, której wierzchołek 𝑊= (𝑝, 𝑞) ma rzędną niedodatnią
𝑞= -Δ
4 .
Odcięta 𝑝= -𝑐-20
2
∈[16
3 , 8], a ponadto 𝑓(4) = 𝑐2 -16𝑐+ 64 = (𝑐-8)2 ≥0.
Zatem 𝑓 ma miejsce zerowe w zbiorze [4, +∞).
Podobnie argumentujemy, że funkcja 𝑔(𝑏) = 𝑏2 + (𝑐-20)𝑏+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma
miejsce zerowe w przedziale [4, +∞).
Zatem układ (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.
Z równań (1) i (2) po podzieleniu przez 4 i 2 otrzymujemy a + b + c = 20 oraz ab + bc + ca = 128. Wyznaczamy b = 20 - a - c i podstawiamy do drugiego równania: a(20-a-c) + (20-a-c)c + ca = 128, skąd po uporządkowaniu a² + (c-20)a + (c²-20c+128) = 0. Równanie to (z niewiadomą a, przy parametrze c) ma rozwiązanie rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest nieujemny: Δ = (c-20)² - 4(c²-20c+128) = -3c² + 40c - 112 ≥ 0. Stąd 3c² - 40c + 112 ≤ 0, czyli -3(c-4)(c - 28/3) ≥ 0, a więc c ∈ [4, 28/3]. Na odwrót, dla c ∈ [4, 28/3] funkcja f(a) = a² + (c-20)a + (c²-20c+128) ma Δ ≥ 0, a jej wierzchołek ma odciętą p = (20-c)/2 ∈ [16/3, 8]; ponadto f(4) = 16 + 4(c-20) + c² - 20c + 128 = c² - 16c + 64 = (c-8)² ≥ 0. Zatem f ma pierwiastek a₀ ≥ 4, a wówczas b₀ = 20 - a₀ - c ≥ 4 (analogiczne rozumowanie dla b). Wobec tego układ ma rozwiązanie (a,b) o obu współrzędnych ≥ 4 dokładnie wtedy, gdy c ∈ [4, 28/3].
"}]}