{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/18.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"18.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.2. (0-4)\nObjętość 𝑉 każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą\nfunkcji\n𝑉(𝑐) = 𝑐3 -20𝑐2 + 128𝑐\ngdzie 𝑐∈[4, 28\n3 ] jest długością jednej z krawędzi bryły.\nOblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość\njest najmniejsza. Zapisz obliczenia.\n56\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑉 i określenie monotoniczności funkcji 𝑉.\n2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑉.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW celu znalezienia prostopadłościanu, którego objętość jest najmniejsza, należy zbadać\nfunkcję 𝑉(𝑐).\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉 i obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(𝑐) = 3𝑐2 -40𝑐+ 128\n𝑉′(𝑐) = 0\n3𝑐2 -40𝑐+ 128 = 0\nΔ = 64\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n57\n𝑐= 8 lub 𝑐= 16\n3\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑉. Ponieważ\n𝑉′(𝑐) > 0 dla 𝑐∈[4, 16\n3 ) ∪(8, 28\n3 ]\n𝑉′(𝑐) < 0 dla 𝑐∈(16\n3 , 8)\nwięc\nfunkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziałach [4, 16\n3 ] oraz [8, 28\n3 ]\nfunkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale [16\n3 , 8].\nPonieważ 𝑉(4) = 256, 𝑉(8) = 256 oraz 𝑉(28\n3 ) ≈265, więc najmniejsza możliwa\nobjętość prostopadłościanu jest równa 256.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Badamy funkcję V(c) = c³ - 20c² + 128c na przedziale [4, 28/3]. Pochodna: V'(c) = 3c² - 40c + 128. Miejsca zerowe: 3c² - 40c + 128 = 0, Δ = 1600 - 1536 = 64, c = (40-8)/6 = 16/3 lub c = (40+8)/6 = 8. Ponieważ V'(c) > 0 dla c ∈ [4, 16/3) ∪ (8, 28/3] i V'(c) < 0 dla c ∈ (16/3, 8), funkcja V rośnie na [4, 16/3] i na [8, 28/3], a maleje na [16/3, 8]. Obliczamy wartości: V(4) = 64 - 320 + 512 = 256, V(8) = 512 - 1280 + 1024 = 256 oraz V(28/3) ≈ 265. Najmniejsza objętość wynosi więc 256. Odpowiedź: najmniejsza objętość to 256 (jednostek objętości).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-18.2.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":55,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 18.2. (0-4)<br>Objętość 𝑉 każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą<br>funkcji<br>𝑉(𝑐) = 𝑐3 -20𝑐2 + 128𝑐<br>gdzie 𝑐∈[4, 28<br>3 ] jest długością jednej z krawędzi bryły.<br>Oblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość<br>jest najmniejsza. Zapisz obliczenia.<br>56<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025<br>Wymaganie ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Wymaganie szczegółowe<br>XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:<br>6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.<br>3 pkt - zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑉 i określenie monotoniczności funkcji 𝑉.<br>2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑉.<br>1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>W celu znalezienia prostopadłościanu, którego objętość jest najmniejsza, należy zbadać<br>funkcję 𝑉(𝑐).<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑉 i obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:<br>𝑉′(𝑐) = 3𝑐2 -40𝑐+ 128<br>𝑉′(𝑐) = 0<br>3𝑐2 -40𝑐+ 128 = 0<br>Δ = 64<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>57<br>𝑐= 8 lub 𝑐= 16<br>3<br>Badamy monotoniczność funkcji 𝑉. Ponieważ<br>𝑉′(𝑐) &gt; 0 dla 𝑐∈[4, 16<br>3 ) ∪(8, 28<br>3 ]<br>𝑉′(𝑐) &lt; 0 dla 𝑐∈(16<br>3 , 8)<br>więc<br>funkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziałach [4, 16<br>3 ] oraz [8, 28<br>3 ]<br>funkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale [16<br>3 , 8].<br>Ponieważ 𝑉(4) = 256, 𝑉(8) = 256 oraz 𝑉(28<br>3 ) ≈265, więc najmniejsza możliwa<br>objętość prostopadłościanu jest równa 256.</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Badamy funkcję V(c) = c³ - 20c² + 128c na przedziale [4, 28/3]. Pochodna: V&#x27;(c) = 3c² - 40c + 128. Miejsca zerowe: 3c² - 40c + 128 = 0, Δ = 1600 - 1536 = 64, c = (40-8)/6 = 16/3 lub c = (40+8)/6 = 8. Ponieważ V&#x27;(c) &gt; 0 dla c ∈ [4, 16/3) ∪ (8, 28/3] i V&#x27;(c) &lt; 0 dla c ∈ (16/3, 8), funkcja V rośnie na [4, 16/3] i na [8, 28/3], a maleje na [16/3, 8]. Obliczamy wartości: V(4) = 64 - 320 + 512 = 256, V(8) = 512 - 1280 + 1024 = 256 oraz V(28/3) ≈ 265. Najmniejsza objętość wynosi więc 256. Odpowiedź: najmniejsza objętość to 256 (jednostek objętości).</p>"}]}