{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/19","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"19","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-4)\nNa rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości\n𝐴, 𝐵 i 𝐶 oraz zaznaczono odległości między nimi.\nO godzinie 9:00 z miejscowości 𝐴 do 𝐶 wyruszył zastęp\nharcerzy „Tropiciele” i przemieszczał się\nz prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie\nz miejscowości 𝐵 do 𝐴 wyruszył zastęp harcerzy\n„Korsarze” i przemieszczał się z prędkością 2 km/h.\nWyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie\nnajmniejsza. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n15 km\n20 km\n58\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4)\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia chwili, w której odległość między zastępami będzie\nnajmniejsza i poprawna odpowiedź.\n3 pkt - uzasadnienie, że odległość 𝑑 jest najmniejsza wtedy, gdy wyrażenie\npodpierwiastkowe 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest możliwie najmniejsze oraz podanie\nzakresu zmienności 𝑡.\n2 pkt - wyznaczenie odległości 𝑑 między zastępami w zależności od czasu 𝑡, jaki upłynął\nod momentu wyruszenia zastępów.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n59\n1 pkt - wyznaczenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 w zależności\nod czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - uzasadnienie (np. poprzez zbadanie monotoniczności), że dla 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑(𝑡)\nosiąga minimum globalne i podanie poprawnej odpowiedzi.\n3 pkt - podanie dziedziny funkcji 𝑑(𝑡), obliczenie pochodnej funkcji 𝑑(𝑡) i znalezienie\npunktów krytycznych.\n2 pkt - wyznaczenie odległości 𝑑 między zastępami w zależności od czasu 𝑡, jaki upłynął\nod momentu wyruszenia zastępów.\n1 pkt - wyznaczenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 w zależności\nod czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5].\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐵:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nOdległość między zastępami badamy do momentu, gdy pierwszy z nich dotrze do celu.\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 jest równa\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 5].\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 5] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nPonieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥 jest funkcją rosnącą w przedziale [0, +∞), więc funkcja 𝑑\nosiąga wartość najmniejszą dla takiego argumentu, dla którego funkcja 𝑓 określona wzorem\n𝑓(𝑡) = 16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 dla 𝑡∈[0, 5]\nosiąga wartość najmniejszą.\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy argument, dla którego funkcja 𝑓\nosiąga wartość najmniejszą:\n𝑡= 60\n2⋅20 = 1,5 ∈[0, 5]\n60\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nwięc funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑡= 1,5. Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość\nnajmniejszą dla argumentu 𝑡= 1,5.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.\nSposób 2.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5].\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐵:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 wynosi\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 5] oraz\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(5) + 𝑑2\n2(𝑡) = √400 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈(5, 15\n2 ],\nprzy czym przyjmujemy, że dla 𝑡∈[5, 15\n2 ] „Tropiciele” znajdują się w miejscowości 𝐶.\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15\n2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑑:\n𝑑′(𝑡) = (√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2)\n′\n1\n2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[16𝑡2 + (15 -2𝑡)2]′ =\n1\n2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[32𝑡+ 2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2\ndla 𝑡∈[0, 5] oraz\n𝑑′(𝑡) = (√400 + (15 -2𝑡)2)\n′\n1\n2√400 + (15 -2𝑡)2 ⋅[400 + (15 -2𝑡)2]′ =\n1\n2√400 + (15 -2𝑡)2 ⋅[2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =\n4𝑡-30\n√400 + (15 -2𝑡)2\ndla 𝑡∈(5, 15\n2 ].\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑑:\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n61\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 0\n𝑡= 3\n2 ∈[0, 5]\noraz\n4𝑡-30\n√400 + (15 -2𝑡)2 = 0\n𝑡= 15\n2 ∈(5, 15\n2 ]\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑑.\nPonieważ\n𝑑′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈(3\n2 , 5]\n𝑑′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈[0, 3\n2) oraz dla 𝑡∈(5, 15\n2 )\nwięc\nfunkcja 𝑑 jest rosnąca w przedziale [3\n2 , 5]\nfunkcja 𝑑 jest malejąca w przedziałach [0, 3\n2] oraz [5, 15\n2 ].\nPonadto 𝑑(3\n2) = √180 oraz 𝑑(15\n2 ) = √400. Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość\nnajmniejszą dla 𝑡= 1,5.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.\n62\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPoniżej przedstawiono ilustrację geometryczną do sposobów 1. (po lewej) oraz 2. (po\nprawej).\nPunkty 𝑋𝑖 odpowiadają położeniom zastępu „Korsarze” po kolejnych półgodzinnych\nodstępach czasu, licząc od momentu wyruszenia z miejscowości 𝐵.\nPunkty 𝑌𝑖 odpowiadają położeniom zastępu „Tropiciele” po kolejnych półgodzinnych\nodstępach czasu, licząc od momentu wyruszenia z miejscowości 𝐴.\n𝑑= |𝑋𝑖𝑌𝑖| (w km)\nGodzina\n|𝑋1𝑌1| ≈14,14\n9:30\n|𝑋2𝑌2| ≈13,60\n10:00\n|𝑋3𝑌3| ≈13,42\n10:30\n|𝑋4𝑌4| ≈13,60\n11:00\n|𝑋5𝑌5| ≈14,14\n11:30\n|𝑋6𝑌6| ≈15,00\n12:00\n|𝑋7𝑌7| ≈16,12\n12:30\n|𝑋8𝑌8| ≈17,46\n13:00\n|𝑋9𝑌9| ≈18,97\n13:30\n|𝑋10𝑌10| ≈20,62\n14:00\n|𝑋11𝑌10| ≈20,40\n14:30\n|𝑋12𝑌10| ≈20,22\n15:00\n|𝑋13𝑌10| ≈20,10\n15:30\n|𝑋14𝑌10| ≈20,02\n16:00\n|𝐴𝑌10| ≈20,00\n16:30\n𝑑= |𝑋𝑖𝑌𝑖| (w km)\nGodzina\n|𝑋1𝑌1| ≈14,14\n9:30\n|𝑋2𝑌2| ≈13,60\n10:00\n|𝑋3𝑌3| ≈13,42\n10:30\n|𝑋4𝑌4| ≈13,60\n11:00\n|𝑋5𝑌5| ≈14,14\n11:30\n|𝑋6𝑌6| ≈15,00\n12:00\n|𝑋7𝑌7| ≈16,12\n12:30\n|𝑋8𝑌8| ≈17,46\n13:00\n|𝑋9𝑌9| ≈18,97\n13:30\n|𝑋10𝑌10| ≈20,62\n14:00\n𝐴\n𝐵\n𝑋1\n𝑋2\n𝑋3\n𝑋4\n𝑋5\n𝑋6\n𝑌1\n𝑌2\n𝑌3\n𝑌4\n𝑌5\n𝑌10 = 𝐶\n𝑋7\n𝑋8\n𝑋9\n𝑋10\n𝑌6\n𝑌7\n𝑌8\n𝑌9\n𝐴\n𝐵\n𝑋1\n𝑋2\n𝑋3\n𝑋4\n𝑋5\n𝑋6\n𝑌1\n𝑌2\n𝑌3\n𝑌4\n𝑌5\n𝑌10 = ⋯𝑌15 = 𝐶\n𝑋11\n𝑋12\n𝑋7\n𝑋8\n𝑋9\n𝑋10\n𝑌6\n𝑌7\n𝑌8\n𝑌9\n𝑋13\n𝑋14\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n63","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z rysunku: AB = 15 km, AC = 20 km i kąty przy wierzchołku A są proste, więc odcinki AB i AC są prostopadłe. Niech t oznacza czas w godzinach liczony od 9:00. „Tropiciele” idą z A do C z prędkością 4 km/h, więc ich odległość od A to d₁(t) = 4t. „Korsarze” idą z B do A z prędkością 2 km/h, więc ich odległość od A to d₂(t) = 15 - 2t. Ponieważ kierunki są prostopadłe, kwadrat odległości między zastępami wynosi d²(t) = d₁² + d₂² = 16t² + (15-2t)² = 20t² - 60t + 225 dla t ∈ [0, 5] (do chwili, gdy Tropiciele dotrą do C). Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc d jest najmniejsze, gdy funkcja kwadratowa f(t) = 20t² - 60t + 225 przyjmuje minimum. Wierzchołek: t = 60/(2·20) = 1,5 ∈ [0,5]. Zatem d osiąga minimum dla t = 1,5 h, czyli o godzinie 9:00 + 1:30 = 10:30. Odpowiedź: odległość będzie najmniejsza o godzinie 10:30.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":57,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 19. (0-4)
Na rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości
𝐴, 𝐵 i 𝐶 oraz zaznaczono odległości między nimi.
O godzinie 9:00 z miejscowości 𝐴 do 𝐶 wyruszył zastęp
harcerzy „Tropiciele” i przemieszczał się
z prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie
z miejscowości 𝐵 do 𝐴 wyruszył zastęp harcerzy
„Korsarze” i przemieszczał się z prędkością 2 km/h.
Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie
najmniejsza. Zapisz obliczenia.
𝐴
𝐵
𝐶
15 km
20 km
58
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4)
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].
Wymagania szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
i funkcji złożonej;
6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia chwili, w której odległość między zastępami będzie
najmniejsza i poprawna odpowiedź.
3 pkt - uzasadnienie, że odległość 𝑑 jest najmniejsza wtedy, gdy wyrażenie
podpierwiastkowe 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest możliwie najmniejsze oraz podanie
zakresu zmienności 𝑡.
2 pkt - wyznaczenie odległości 𝑑 między zastępami w zależności od czasu 𝑡, jaki upłynął
od momentu wyruszenia zastępów.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
59
1 pkt - wyznaczenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 w zależności
od czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 2.
4 pkt - uzasadnienie (np. poprzez zbadanie monotoniczności), że dla 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑(𝑡)
osiąga minimum globalne i podanie poprawnej odpowiedzi.
3 pkt - podanie dziedziny funkcji 𝑑(𝑡), obliczenie pochodnej funkcji 𝑑(𝑡) i znalezienie
punktów krytycznych.
2 pkt - wyznaczenie odległości 𝑑 między zastępami w zależności od czasu 𝑡, jaki upłynął
od momentu wyruszenia zastępów.
1 pkt - wyznaczenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 w zależności
od czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Niech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐴:
𝑑1(𝑡) = 4𝑡
dla 𝑡∈[0, 5].
Niech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐵:
𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡
dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
Odległość między zastępami badamy do momentu, gdy pierwszy z nich dotrze do celu.
Odległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 jest równa
𝑑(𝑡) = √𝑑1
2(𝑡) + 𝑑2
2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 5].
Badamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 5] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.
Ponieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥 jest funkcją rosnącą w przedziale [0, +∞), więc funkcja 𝑑
osiąga wartość najmniejszą dla takiego argumentu, dla którego funkcja 𝑓 określona wzorem
𝑓(𝑡) = 16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 dla 𝑡∈[0, 5]
osiąga wartość najmniejszą.
Korzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy argument, dla którego funkcja 𝑓
osiąga wartość najmniejszą:
𝑡= 60
2⋅20 = 1,5 ∈[0, 5]
60
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
więc funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑡= 1,5. Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość
najmniejszą dla argumentu 𝑡= 1,5.
Odległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.
Sposób 2.
Niech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐴:
𝑑1(𝑡) = 4𝑡
dla 𝑡∈[0, 5].
Niech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐵:
𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡
dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
Odległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 wynosi
𝑑(𝑡) = √𝑑1
2(𝑡) + 𝑑2
2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 5] oraz
𝑑(𝑡) = √𝑑1
2(5) + 𝑑2
2(𝑡) = √400 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈(5, 15
2 ],
przy czym przyjmujemy, że dla 𝑡∈[5, 15
2 ] „Tropiciele” znajdują się w miejscowości 𝐶.
Badamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15
2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑑:
𝑑′(𝑡) = (√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2)
′
1
2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[16𝑡2 + (15 -2𝑡)2]′ =
1
2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[32𝑡+ 2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =
20𝑡-30
√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2
dla 𝑡∈[0, 5] oraz
𝑑′(𝑡) = (√400 + (15 -2𝑡)2)
′
1
2√400 + (15 -2𝑡)2 ⋅[400 + (15 -2𝑡)2]′ =
1
2√400 + (15 -2𝑡)2 ⋅[2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =
4𝑡-30
√400 + (15 -2𝑡)2
dla 𝑡∈(5, 15
2 ].
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑑:
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
61
20𝑡-30
√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 0
𝑡= 3
2 ∈[0, 5]
oraz
4𝑡-30
√400 + (15 -2𝑡)2 = 0
𝑡= 15
2 ∈(5, 15
2 ]
Badamy monotoniczność funkcji 𝑑.
Ponieważ
𝑑′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈(3
2 , 5]
𝑑′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈[0, 3

\n
  1. oraz dla 𝑡∈(5, 15
\n

2 )
więc
funkcja 𝑑 jest rosnąca w przedziale [3
2 , 5]
funkcja 𝑑 jest malejąca w przedziałach [0, 3
2] oraz [5, 15
2 ].
Ponadto 𝑑(3

\n
  1. = √180 oraz 𝑑(15
\n

2 ) = √400. Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość
najmniejszą dla 𝑡= 1,5.
Odległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.
62
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Poniżej przedstawiono ilustrację geometryczną do sposobów 1. (po lewej) oraz 2. (po
prawej).
Punkty 𝑋𝑖 odpowiadają położeniom zastępu „Korsarze” po kolejnych półgodzinnych
odstępach czasu, licząc od momentu wyruszenia z miejscowości 𝐵.
Punkty 𝑌𝑖 odpowiadają położeniom zastępu „Tropiciele” po kolejnych półgodzinnych
odstępach czasu, licząc od momentu wyruszenia z miejscowości 𝐴.
𝑑= |𝑋𝑖𝑌𝑖| (w km)
Godzina
|𝑋1𝑌1| ≈14,14
9:30
|𝑋2𝑌2| ≈13,60
10:00
|𝑋3𝑌3| ≈13,42
10:30
|𝑋4𝑌4| ≈13,60
11:00
|𝑋5𝑌5| ≈14,14
11:30
|𝑋6𝑌6| ≈15,00
12:00
|𝑋7𝑌7| ≈16,12
12:30
|𝑋8𝑌8| ≈17,46
13:00
|𝑋9𝑌9| ≈18,97
13:30
|𝑋10𝑌10| ≈20,62
14:00
|𝑋11𝑌10| ≈20,40
14:30
|𝑋12𝑌10| ≈20,22
15:00
|𝑋13𝑌10| ≈20,10
15:30
|𝑋14𝑌10| ≈20,02
16:00
|𝐴𝑌10| ≈20,00
16:30
𝑑= |𝑋𝑖𝑌𝑖| (w km)
Godzina
|𝑋1𝑌1| ≈14,14
9:30
|𝑋2𝑌2| ≈13,60
10:00
|𝑋3𝑌3| ≈13,42
10:30
|𝑋4𝑌4| ≈13,60
11:00
|𝑋5𝑌5| ≈14,14
11:30
|𝑋6𝑌6| ≈15,00
12:00
|𝑋7𝑌7| ≈16,12
12:30
|𝑋8𝑌8| ≈17,46
13:00
|𝑋9𝑌9| ≈18,97
13:30
|𝑋10𝑌10| ≈20,62
14:00
𝐴
𝐵
𝑋1
𝑋2
𝑋3
𝑋4
𝑋5
𝑋6
𝑌1
𝑌2
𝑌3
𝑌4
𝑌5
𝑌10 = 𝐶
𝑋7
𝑋8
𝑋9
𝑋10
𝑌6
𝑌7
𝑌8
𝑌9
𝐴
𝐵
𝑋1
𝑋2
𝑋3
𝑋4
𝑋5
𝑋6
𝑌1
𝑌2
𝑌3
𝑌4
𝑌5
𝑌10 = ⋯𝑌15 = 𝐶
𝑋11
𝑋12
𝑋7
𝑋8
𝑋9
𝑋10
𝑌6
𝑌7
𝑌8
𝑌9
𝑋13
𝑋14
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
63

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Z rysunku: AB = 15 km, AC = 20 km i kąty przy wierzchołku A są proste, więc odcinki AB i AC są prostopadłe. Niech t oznacza czas w godzinach liczony od 9:00. „Tropiciele” idą z A do C z prędkością 4 km/h, więc ich odległość od A to d₁(t) = 4t. „Korsarze” idą z B do A z prędkością 2 km/h, więc ich odległość od A to d₂(t) = 15 - 2t. Ponieważ kierunki są prostopadłe, kwadrat odległości między zastępami wynosi d²(t) = d₁² + d₂² = 16t² + (15-2t)² = 20t² - 60t + 225 dla t ∈ [0, 5] (do chwili, gdy Tropiciele dotrą do C). Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc d jest najmniejsze, gdy funkcja kwadratowa f(t) = 20t² - 60t + 225 przyjmuje minimum. Wierzchołek: t = 60/(2·20) = 1,5 ∈ [0,5]. Zatem d osiąga minimum dla t = 1,5 h, czyli o godzinie 9:00 + 1:30 = 10:30. Odpowiedź: odległość będzie najmniejsza o godzinie 10:30.

"}]}