{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (0-3)\nDane są liczby 𝑎= (log√5 2) ⋅log2 25 i 𝑏= log5 6\nlog5 8 .\nOblicz 𝒂𝒃+𝟏.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n17\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1)\nwykonuje działania ([ ] potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie)\nw zbiorze liczb rzeczywistych;\nR)\nstosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - poprawne obliczenie 𝑎 oraz przekształcenie 𝑏 do postaci logarytmu o podstawie 2\nlub 4, np. 𝑏= log2 √6\n3\n1 pkt - poprawne obliczenie 𝑎 lub przekształcenie 𝑏 do postaci logarytmu o podstawie 2\nlub 4, np. 𝑏= log2 √6\n3\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy 𝑎 oraz 𝑏 z wykorzystaniem wzoru na zamianę podstawy logarytmu:\n𝑎= log√5 2 ⋅log2 25 = log2 2\nlog2 √5\n⋅2 log2 5 = log2 2\n1\n2 log2 5\n⋅2 log2 5 = 4\n𝑏= log5 6\nlog5 8 = log8 6 = log2 6\nlog2 8 = 1\n3 log2 6 = log2 √6\n3\nObliczamy 𝑎𝑏+1:\n𝑎𝑏+1 = 4log2 √6\n3\n+1 = 4log2 √6\n3\n⋅41 = 22 log2 √6\n3\n⋅4 = 2log2 √36\n3\n⋅4 = 4√36\n3\n18\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Obliczamy a = log_{√5}2 · log₂25 = (2/log₂5) · 2log₂5 = 4. Obliczamy b = log₅6/log₅8 = log₂6/3. Wtedy a^{b+1} = 4 · 4^b = 4 · 2^{2b} = 4 · 6^{2/3} = 4·∛36.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":16,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 2. (0-3)
Dane są liczby 𝑎= (log√5 2) ⋅log2 25 i 𝑏= log5 6
log5 8 .
Oblicz 𝒂𝒃+𝟏.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
17
Wymagania ogólne
I.
Sprawność rachunkowa.
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymagania szczegółowe
I.
Liczby rzeczywiste. Zdający:
1)
wykonuje działania ([ ] potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie)
w zbiorze liczb rzeczywistych;
R)
stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
2 pkt - poprawne obliczenie 𝑎 oraz przekształcenie 𝑏 do postaci logarytmu o podstawie 2
lub 4, np. 𝑏= log2 √6
3
1 pkt - poprawne obliczenie 𝑎 lub przekształcenie 𝑏 do postaci logarytmu o podstawie 2
lub 4, np. 𝑏= log2 √6
3
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczamy 𝑎 oraz 𝑏 z wykorzystaniem wzoru na zamianę podstawy logarytmu:
𝑎= log√5 2 ⋅log2 25 = log2 2
log2 √5
⋅2 log2 5 = log2 2
1
2 log2 5
⋅2 log2 5 = 4
𝑏= log5 6
log5 8 = log8 6 = log2 6
log2 8 = 1
3 log2 6 = log2 √6
3
Obliczamy 𝑎𝑏+1:
𝑎𝑏+1 = 4log2 √6
3
+1 = 4log2 √6
3
⋅41 = 22 log2 √6
3
⋅4 = 2log2 √36
3
⋅4 = 4√36
3
18
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Obliczamy a = log_{√5}2 · log₂25 = (2/log₂5) · 2log₂5 = 4. Obliczamy b = log₅6/log₅8 = log₂6/3. Wtedy a^{b+1} = 4 · 4^b = 4 · 2^{2b} = 4 · 6^{2/3} = 4·∛36.

"}]}