Zadanie 20. (0-4)
Firma X wytwarza pewien produkt D. Badania
rynku pokazały, że związek między ilością 𝑄
produktu D, jaką firma jest w stanie zbyć na
rynku, a ceną 𝑃 produktu jest następujący:
𝑃(𝑄) = 90 -0,1𝑄 dla 𝑄∈[0, 900]
gdzie 𝑃 jest ceną za jednostkę produktu
w złotych, a 𝑄 - ilością produktu w tys. sztuk.
Koszty 𝐾 wytworzenia produktu D zależą od ilości 𝑄 wytwarzanego produktu
następująco:
𝐾(𝑄) = 0,002𝑄3 + 𝑄2 + 29,9985𝑄+ 50
gdzie 𝐾 jest kosztem produkcji w tys. zł.
Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik
podaj zaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk. Zapisz obliczenia.
64
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […].
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymagania szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
i funkcji złożonej;
5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielkości produkcji gwarantującej maksymalny
dochód i poprawny wynik zaokrąglony z podaną dokładnością.
3 pkt - znalezienie ekstremów lokalnych funkcji dochodu 𝑍(𝑄).
2 pkt - zapisanie dochodu w zależności od 𝑄.
1 pkt - zapisanie przychodu w zależności od 𝑄.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
65
Przykładowe pełne rozwiązanie
Dochód 𝑍 firmy to przychód 𝑅 pomniejszony o koszty 𝐾.
Ponieważ przychód wyraża się zależnością 𝑅= 𝑄⋅𝑃, więc
𝑅(𝑄) = 90𝑄-0,1𝑄2
Wyznaczamy zależność dochodu od wielkości produkcji:
𝑍(𝑄) = 𝑅(𝑄) -𝐾(𝑄)
𝑍(𝑄) = -0,002𝑄3 -1,1𝑄2 + 60,0015𝑄-50
W celu znalezienia optymalnej wielkości produkcji, przy której dochód jest możliwie
największy, należy zbadać funkcję 𝑍.
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑍 i obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
𝑍′(𝑄) = -0,006𝑄2 -2,2𝑄+ 60,0015
dla 𝑄∈[0, 900]
𝑍′(𝑄) = 0
-0,006𝑄2 -2,2𝑄+ 60,0015 = 0 i 𝑄∈[0, 900]
Δ = (-2,2)2 -4 ⋅(-0,006) ⋅60,0015 = 6,280036
𝑄1 = 2,2 -√6,280036
2 ⋅ (-0,006)
= 25,5 (𝑄2 < 0)
Ponieważ:
𝑍′(𝑄) > 0 dla 𝑄∈[0, 𝑄1]
𝑍′(𝑄) < 0 dla 𝑄∈[𝑄1, 900]
więc
funkcja 𝑍 jest rosnąca w przedziale [0, 𝑄1]
funkcja 𝑍 jest malejąca w przedziale [𝑄1, 900].
Zatem funkcja 𝑍 przyjmuje największą wartość dla argumentu 𝑄1 = 25,5.
Dochód firmy jest największy przy wielkości produkcji 25 500 sztuk.
66
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
PLANIMETRIA, GEOMETRIA ANALITYCZNA, STEREOMETRIA
Przychód: R(Q) = Q·P(Q) = Q(90 - 0,1Q) = 90Q - 0,1Q². Dochód to przychód minus koszt: Z(Q) = R(Q) - K(Q) = (90Q - 0,1Q²) - (0,002Q³ + Q² + 29,9985Q + 50) = -0,002Q³ - 1,1Q² + 60,0015Q - 50, dla Q ∈ [0,900]. Pochodna: Z'(Q) = -0,006Q² - 2,2Q + 60,0015. Rozwiązujemy Z'(Q) = 0: Δ = (-2,2)² - 4·(-0,006)·60,0015 = 4,84 + 1,440036 = 6,280036, √Δ ≈ 2,506, Q = (2,2 - 2,506)/(-0,012) ≈ 25,5 (drugi pierwiastek jest ujemny). Ponieważ Z'(Q) > 0 dla Q < 25,5 i Z'(Q) < 0 dla Q > 25,5, funkcja Z osiąga maksimum dla Q ≈ 25,5. Q jest wyrażone w tys. sztuk, więc optymalna produkcja to 25 500 sztuk. Odpowiedź: 25 500 sztuk (przy zaokrągleniu do 100 sztuk).
"}]}