Zadanie 21. (0-5)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 punkt 𝑂 jest środkiem symetrii
podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 do sumy długości wszystkich
krawędzi ostrosłupa jest równy 1: 5. Przez przekątną 𝐴𝐶 podstawy i środek 𝑆 krawędzi
bocznej 𝐵𝐸 poprowadzono płaszczyznę.
Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę
kąta 𝑩𝑺𝑶 (w zaokrągleniu do 𝟏°). Zapisz obliczenia.
Wskazówka.
Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne,
strona 34).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
67
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów,
diagramów, tabel.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymaganie szczegółowe
X. Stereometria. Zdający:
2R) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola,
także z wykorzystanie trygonometrii.
68
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Zasady oceniania
dla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.
5 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 (w zaokrągleniu do 1°) oraz obliczenie stosunku pola
przekroju do pola podstawy ostrosłupa.
4 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz stosunku pola przekroju do pola
podstawy ostrosłupa
ALBO
3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa
ALBO
2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝑂𝑆 w zależności od długości krawędzi podstawy.
1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 3.
5 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 (w zaokrągleniu do 1°) oraz obliczenie stosunku pola
przekroju do pola podstawy ostrosłupa.
4 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝑂𝐸𝐵 lub 𝐹𝐵𝑆.
3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa.
2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝑆𝐹 i 𝑂𝐹.
1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.
Rysunek 1.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝑆
𝑂
α
𝑎
𝑏
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
69
Wyznaczamy 𝑏 w zależności od 𝑎.
Z treści zadania mamy
4𝑎
4𝑎+4𝑏= 1
5 , co daje 𝑏= 4𝑎.
Wyznaczamy |𝑂𝑆| w zależności od 𝑎.
Trójkąt 𝑂𝐵𝐸 jest prostokątny, punkt 𝑆 jest środkiem
przeciwprostokątnej, więc 𝑆 jest środkiem okręgu
opisanego na trójkącie 𝑂𝐵𝐸 (zobacz rysunek 2.).
Zatem |𝑂𝑆| = 2𝑎.
Obliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy
ostrosłupa:
𝑃𝐴𝐶𝑆
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|
𝑎2
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎
𝑎2
= √2
Do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 stosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂:
(𝑎√2
2 )
2
= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼
Z ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15
16 , więc 𝛼≈20°.
Sposób 2.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.
Wyznaczamy 𝑏 w zależności od 𝑎.
Z treści zadania mamy
4𝑎
4𝑎+4𝑏= 1
5 , co daje 𝑏= 4𝑎.
Stąd i z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐵𝐸𝐶 obliczamy cosinus
kąta 𝐵𝐸𝐶:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|
𝑎2 = 16𝑎2 + 16𝑎2 -2 ⋅4𝑎⋅4𝑎⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|
cos |∡𝐵𝐸𝐶| = 31
32
𝑂
𝐵
𝐸
𝑆
α
2𝑎
2𝑎
Rysunek 2.
70
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Korzystamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝑆𝐸 i wyznaczamy
długość odcinka 𝑆𝐶:
|𝑆𝐶|2 = 𝑏2 + (1
2 𝑏)
2
-2 ⋅1
2 𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|
|𝑆𝐶|2 = 16𝑎2 + 4𝑎2 -16𝑎2 ⋅31
32
|𝑆𝐶|2 = 9
2 𝑎2
|𝑆𝐶| = 3𝑎
√2
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑂𝐶𝑆 w celu wyznaczenia długości odcinka
𝑂𝑆:
|𝑂𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -(√2𝑎
2 )
2
|𝑂𝑆|2 = 9
2 𝑎2 -1
2 𝑎2
|𝑂𝑆| = 2𝑎
Obliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:
𝑃𝐴𝐶𝑆
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|
𝑎2
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎
𝑎2
= √2
W celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 (zobacz rysunek 2.)
twierdzenie cosinusów:
(𝑎√2
2 )
2
= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼
Z ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15
16 , więc 𝛼≈20°.
Sposób 3.
Wyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.
Z treści zadania mamy
4𝑎
4𝑎+4𝑏= 1
5 , co daje 𝑏= 4𝑎.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝑂𝐸 i obliczamy długość
odcinka 𝑂𝐸:
|𝑂𝐸|2 = |𝐵𝐸|2 -|𝑂𝐵|2
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
71
|𝑂𝐸|2 = 62
4 𝑎2
|𝑂𝐸| = √62
2 𝑎
Oznaczmy przez 𝐹 rzut prostokątny punktu 𝑆 na odcinek 𝑂𝐵.
Ponieważ |∡𝑂𝐸𝐵| = |∡𝐹𝑆𝐵|, |∡𝑂𝐵𝐸| = |∡𝐹𝐵𝑆| i trójkąty 𝐵𝑂𝐸 oraz 𝐵𝐹𝑆 są
prostokątne, więc są podobne (na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów). Trójkąty 𝐵𝑂𝐸
i 𝐵𝐹𝑆 są podobne w skali 𝑘=
|𝐵𝐸|
|𝐵𝑆| = 4𝑎
2𝑎= 2. Zatem 𝐹 jest środkiem odcinka 𝑂𝐵, więc
|𝑂𝐹| = 1
2 ⋅|𝑂𝐵| = 𝑎√2
4 oraz |𝑆𝐹| = 1
2 ⋅|𝑂𝐸| = √62
4 𝑎
Obliczamy długość odcinka 𝑂𝑆:
|𝑂𝑆|2 = |𝑂𝐹|2 + |𝑆𝐹|2
|𝑂𝑆|2 = (𝑎√2
4 )
2
4 𝑎)
2
|𝑂𝑆| = 2𝑎
Obliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:
𝑃𝐴𝐶𝑆
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|
𝑎2
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎
𝑎2
= √2
Ponieważ
cos|∡𝐹𝑆𝐵| =
|𝐹𝑆|
|𝐵𝑆| =
√62
4 𝑎
2𝑎
= √62
8
i trójkąt 𝑂𝑆𝐵 jest równoramienny, więc 𝛼= 2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|. Zatem
cos 𝛼= cos(2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|) = 2 cos2|∡𝐹𝑆𝐵| -1 = 2 ⋅(√62
8 )
2
-1 = 15
16
skąd 𝛼≈20°.
72
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Niech a będzie krawędzią podstawy, a b krawędzią boczną ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Obwód podstawy 4a, suma wszystkich krawędzi 4a + 4b, więc 4a/(4a+4b) = 1/5, skąd 20a = 4a + 4b, czyli b = 4a. O jest środkiem podstawy, S środkiem krawędzi BE. W trójkącie BDE odcinek OS łączy środki boków BD i BE, więc OS = DE/2 = b/2 = 2a. Płaszczyzna przez przekątną AC i punkt S daje przekrój — trójkąt ACS. Pole przekroju: P(ACS) = ½·|AC|·|OS| = ½·(a√2)·(2a) = a²√2. Pole podstawy P(ABCD) = a². Stosunek pól: a²√2 / a² = √2. Kąt BSO: w trójkącie BSO mamy |OB| = a√2/2, |OS| = 2a oraz |SB| = b/2 = 2a. Z twierdzenia cosinusów: (a√2/2)² = (2a)² + (2a)² - 2·(2a)(2a)cos α, czyli a²/2 = 8a² - 8a²cos α, skąd cos α = (8 - 1/2)/8 = 15/16. Zatem α ≈ 20°. Odpowiedź: stosunek pola przekroju do pola podstawy wynosi √2, a kąt BSO ≈ 20°.
"}]}