{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/22","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"22","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22. (0-5)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste o równaniach\n2𝑥+ 𝑦-4𝑚-4 = 0 oraz 𝑥-3𝑦+ 5𝑚+ 5 = 0 przecinają się w punkcie 𝑃\no współrzędnych (𝑥𝑃, 𝑦𝑃).\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których współrzędne punktu 𝑷\nspełniają warunki:\n𝒙𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷≥𝒙𝑷\n𝟐 oraz 𝟐< -\n𝟖\n(𝒚𝑷)𝟐+ 𝟖\n𝒙𝑷\nZapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n73\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nIV. Układy równań. Zdający:\n1)\nrozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację\ngeometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których współrzędne\npunktu 𝑃 spełniają podane warunki.\n4 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których obie współrzędne punktu 𝑃 są dodatnie\ni rozwiązanie nierówności 2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 oraz 2 < -\n8\n[2(𝑚 + 1)]2 +\n8\n𝑚 + 1 .\n3 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których obie współrzędne punktu 𝑃 są dodatnie oraz\nrozwiązanie jednej z nierówności:\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 lub 2 < -\n8\n[2(𝑚 + 1)]2 +\n8\n𝑚 + 1 .\n2 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których obie współrzędne punktu 𝑃 są dodatnie\nALBO\n- rozwiązanie jednej z nierówności:\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 lub 2 < -\n8\n[2(𝑚 + 1)]2 +\n8\n𝑚 + 1 .\n1 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑃 w zależności od 𝑚.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPunkt 𝑃 leży na obu prostych, więc\n{2𝑥𝑃+ 𝑦𝑃-4𝑚-4 = 0\n𝑥𝑃-3𝑦𝑃+ 5𝑚+ 5 = 0\nZ powyższego układu równań wyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:\n𝑥𝑃= 𝑚+ 1\n𝑦𝑃= 2(𝑚+ 1)\n74\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPonieważ 𝑥𝑃> 0 i 𝑦𝑃> 0, więc\n𝑚+ 1 > 0 i 2(𝑚+ 1) > 0\nco daje 𝑚∈(-1, +∞).\nUwzględniamy warunki zadania 𝑦𝑃≥𝑥𝑃\n2 i 2 < -\n8\n(𝑦𝑃)2 + 8\n𝑥𝑃\n:\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 i 2 < -\n8\n[2(𝑚+ 1)]2 +\n8\n𝑚+ 1\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 i 2 < -\n2\n(𝑚+ 1)2 +\n8\n𝑚+ 1\n-(𝑚+ 1)(𝑚-1) ≥0 i 2(𝑚+ 1)2\n(𝑚+ 1)2 +\n2\n(𝑚+ 1)2 -8(𝑚+ 1)\n(𝑚+ 1)2 < 0\n𝑚∈[-1, 1] i 2𝑚2 -4𝑚-4\n(𝑚+ 1)2\n< 0\n𝑚∈[-1, 1] i 2𝑚2 -4𝑚-4 < 0 i 𝑚≠-1\n𝑚∈[-1, 1] i 𝑚∈(1 -√3, 1 + √3) i 𝑚≠-1\n𝑚∈(1 -√3, 1]\nPonieważ 𝑚∈(-1, +∞) i 𝑚∈(1 -√3, 1], więc ostatecznie 𝑚∈(1 -√3, 1].","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Punkt P leży na obu prostych, więc 2x_P + y_P - 4m - 4 = 0 oraz x_P - 3y_P + 5m + 5 = 0. Rozwiązując układ otrzymujemy x_P = m + 1, y_P = 2(m+1). Warunki x_P > 0 i y_P > 0 dają m + 1 > 0 i 2(m+1) > 0, czyli m ∈ (-1, +∞). Warunek y_P ≥ x_P²: 2(m+1) ≥ (m+1)², czyli (m+1)(2 - (m+1)) = (m+1)(1-m) ≥ 0, skąd m ∈ [-1, 1]. Warunek 2 < -8/(y_P)² + 8/x_P: podstawiając y_P = 2(m+1), x_P = m+1 mamy 2 < -8/[4(m+1)²] + 8/(m+1) = -2/(m+1)² + 8/(m+1). Po pomnożeniu przez (m+1)² > 0: 2(m+1)² < -2 + 8(m+1), czyli 2(m+1)² - 8(m+1) + 2 < 0, a po podzieleniu przez 2: (m+1)² - 4(m+1) + 1 < 0. Stąd m² - 2m - 2 < 0, czyli (m-1)² < 3, więc m ∈ (1-√3, 1+√3). Uwzględniając m ∈ (-1,1] otrzymujemy ostatecznie m ∈ (1-√3, 1]. Odpowiedź: m ∈ (1-√3, 1].","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":72,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 22. (0-5)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste o równaniach
2𝑥+ 𝑦-4𝑚-4 = 0 oraz 𝑥-3𝑦+ 5𝑚+ 5 = 0 przecinają się w punkcie 𝑃
o współrzędnych (𝑥𝑃, 𝑦𝑃).
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których współrzędne punktu 𝑷
spełniają warunki:
𝒙𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷≥𝒙𝑷
𝟐 oraz 𝟐< -
𝟖
(𝒚𝑷)𝟐+ 𝟖
𝒙𝑷
Zapisz obliczenia.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
73
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymaganie szczegółowe
IV. Układy równań. Zdający:
1)
rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację
geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.
Zasady oceniania
5 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których współrzędne
punktu 𝑃 spełniają podane warunki.
4 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których obie współrzędne punktu 𝑃 są dodatnie
i rozwiązanie nierówności 2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 oraz 2 < -
8
[2(𝑚 + 1)]2 +
8
𝑚 + 1 .
3 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których obie współrzędne punktu 𝑃 są dodatnie oraz
rozwiązanie jednej z nierówności:
2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 lub 2 < -
8
[2(𝑚 + 1)]2 +
8
𝑚 + 1 .
2 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których obie współrzędne punktu 𝑃 są dodatnie
ALBO

\n\n

2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 lub 2 < -
8
[2(𝑚 + 1)]2 +
8
𝑚 + 1 .
1 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑃 w zależności od 𝑚.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Punkt 𝑃 leży na obu prostych, więc
{2𝑥𝑃+ 𝑦𝑃-4𝑚-4 = 0
𝑥𝑃-3𝑦𝑃+ 5𝑚+ 5 = 0
Z powyższego układu równań wyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:
𝑥𝑃= 𝑚+ 1
𝑦𝑃= 2(𝑚+ 1)
74
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Ponieważ 𝑥𝑃> 0 i 𝑦𝑃> 0, więc
𝑚+ 1 > 0 i 2(𝑚+ 1) > 0
co daje 𝑚∈(-1, +∞).
Uwzględniamy warunki zadania 𝑦𝑃≥𝑥𝑃
2 i 2 < -
8
(𝑦𝑃)2 + 8
𝑥𝑃
:
2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 i 2 < -
8
[2(𝑚+ 1)]2 +
8
𝑚+ 1
2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 i 2 < -
2
(𝑚+ 1)2 +
8
𝑚+ 1
-(𝑚+ 1)(𝑚-1) ≥0 i 2(𝑚+ 1)2
(𝑚+ 1)2 +
2
(𝑚+ 1)2 -8(𝑚+ 1)
(𝑚+ 1)2 < 0
𝑚∈[-1, 1] i 2𝑚2 -4𝑚-4
(𝑚+ 1)2
< 0
𝑚∈[-1, 1] i 2𝑚2 -4𝑚-4 < 0 i 𝑚≠-1
𝑚∈[-1, 1] i 𝑚∈(1 -√3, 1 + √3) i 𝑚≠-1
𝑚∈(1 -√3, 1]
Ponieważ 𝑚∈(-1, +∞) i 𝑚∈(1 -√3, 1], więc ostatecznie 𝑚∈(1 -√3, 1].

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Punkt P leży na obu prostych, więc 2x_P + y_P - 4m - 4 = 0 oraz x_P - 3y_P + 5m + 5 = 0. Rozwiązując układ otrzymujemy x_P = m + 1, y_P = 2(m+1). Warunki x_P > 0 i y_P > 0 dają m + 1 > 0 i 2(m+1) > 0, czyli m ∈ (-1, +∞). Warunek y_P ≥ x_P²: 2(m+1) ≥ (m+1)², czyli (m+1)(2 - (m+1)) = (m+1)(1-m) ≥ 0, skąd m ∈ [-1, 1]. Warunek 2 < -8/(y_P)² + 8/x_P: podstawiając y_P = 2(m+1), x_P = m+1 mamy 2 < -8/[4(m+1)²] + 8/(m+1) = -2/(m+1)² + 8/(m+1). Po pomnożeniu przez (m+1)² > 0: 2(m+1)² < -2 + 8(m+1), czyli 2(m+1)² - 8(m+1) + 2 < 0, a po podzieleniu przez 2: (m+1)² - 4(m+1) + 1 < 0. Stąd m² - 2m - 2 < 0, czyli (m-1)² < 3, więc m ∈ (1-√3, 1+√3). Uwzględniając m ∈ (-1,1] otrzymujemy ostatecznie m ∈ (1-√3, 1]. Odpowiedź: m ∈ (1-√3, 1].

"}]}