{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/23","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"23","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 23. (0-3)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg\no środku w punkcie 𝑆= (19, -11) i promieniu 17√2. Wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie\nwspółrzędne ujemne, a odcinek 𝐴𝐵 jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna 𝐴𝐶\ntrapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥.\nOblicz sinus kąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n75\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1R) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu.\nVII. Trygonometria. Zdający:\n7R) stosuje twierdzenie sinusów.\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶.\n1 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu\nALBO\n- obliczenie odległości środka okręgu od prostej zawierającej przekątną 𝐴𝐶 trapezu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie 𝑆= (19, -11) i promieniu 17√2:\n(𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = 578\nObliczamy współrzędne wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu:\n76\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n{ (𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = 578\n𝑦= 𝑥\n(𝑥-19)2 + (𝑥+ 11)2 = 578\n2𝑥2 -16𝑥-96 = 0\n𝑥= -4 lub 𝑥= 12\nPonieważ wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy\n𝐴= (-4, -4) oraz 𝐶= (12, 12).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐶:\n|𝐴𝐶| = √(12 + 4)2 + (12 + 4)2 = 16√2\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nSposób 2.\nNiech 𝐸 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐶. Obliczamy |𝑆𝐸| jako odległość punktu 𝑆 od\nprostej 𝐴𝐶 o równaniu 𝑥-𝑦= 0:\n𝑑(𝑆, 𝐴𝐶) = |𝑆𝐸| =\n|19 -(-11)|\n√12 + (-1)2 = 15√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐸𝑆 w celu obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶\n(połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷):\n|𝐸𝐶|2 = |𝐶𝑆|2 -|𝑆𝐸|2\n|𝐸𝐶|2 = (17√2)\n2 -(15√2)\n2 = 128\nZatem |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐸𝐶| = 16√2.\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n77","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Okrąg ma środek S = (19, -11) i promień R = 17√2, więc jego równanie to (x-19)² + (y+11)² = 578. Przekątna AC leży na prostej y = x. Szukamy punktów wspólnych: (x-19)² + (x+11)² = 578, 2x² - 16x - 96 = 0, x² - 8x - 48 = 0, (x-12)(x+4) = 0, więc x = -4 lub x = 12. Wierzchołek A ma obie współrzędne ujemne, więc A = (-4,-4), a C = (12,12). Długość przekątnej: |AC| = √(16² + 16²) = 16√2. Trójkąt ABC jest wpisany w dany okrąg o promieniu R, więc z twierdzenia sinusów |AC|/sin|∡ABC| = 2R, skąd sin|∡ABC| = |AC|/(2R) = 16√2/(34√2) = 8/17. Odpowiedź: sin|∡ABC| = 8/17.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":74,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-3)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg<br>o środku w punkcie 𝑆= (19, -11) i promieniu 17√2. Wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie<br>współrzędne ujemne, a odcinek 𝐴𝐵 jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna 𝐴𝐶<br>trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥.<br>Oblicz sinus kąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>75<br>Wymaganie ogólne<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>4.<br>Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Wymagania szczegółowe<br>IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:<br>1R) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu.<br>VII. Trygonometria. Zdający:<br>7R) stosuje twierdzenie sinusów.<br>Zasady oceniania<br>dla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.<br>2 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶.<br>1 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie odległości środka okręgu od prostej zawierającej przekątną 𝐴𝐶 trapezu.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie 𝑆= (19, -11) i promieniu 17√2:<br>(𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = 578<br>Obliczamy współrzędne wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu:<br>76<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025<br>{ (𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = 578<br>𝑦= 𝑥<br>(𝑥-19)2 + (𝑥+ 11)2 = 578<br>2𝑥2 -16𝑥-96 = 0<br>𝑥= -4 lub 𝑥= 12<br>Ponieważ wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy<br>𝐴= (-4, -4) oraz 𝐶= (12, 12).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐶:<br>|𝐴𝐶| = √(12 + 4)2 + (12 + 4)2 = 16√2<br>Po zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy<br>|𝐴𝐶|<br>sin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅<br>sin |∡𝐴𝐵𝐶| =<br>|𝐴𝐶|<br>2𝑅= 16√2<br>34√2<br>= 8<br>17<br>Sposób 2.<br>Niech 𝐸 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐶. Obliczamy |𝑆𝐸| jako odległość punktu 𝑆 od<br>prostej 𝐴𝐶 o równaniu 𝑥-𝑦= 0:<br>𝑑(𝑆, 𝐴𝐶) = |𝑆𝐸| =<br>|19 -(-11)|<br>√12 + (-1)2 = 15√2<br>Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐸𝑆 w celu obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶<br>(połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷):<br>|𝐸𝐶|2 = |𝐶𝑆|2 -|𝑆𝐸|2<br>|𝐸𝐶|2 = (17√2)<br>2 -(15√2)<br>2 = 128<br>Zatem |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐸𝐶| = 16√2.<br>Po zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy<br>|𝐴𝐶|<br>sin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅<br>sin |∡𝐴𝐵𝐶| =<br>|𝐴𝐶|<br>2𝑅= 16√2<br>34√2<br>= 8<br>17<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>77</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Okrąg ma środek S = (19, -11) i promień R = 17√2, więc jego równanie to (x-19)² + (y+11)² = 578. Przekątna AC leży na prostej y = x. Szukamy punktów wspólnych: (x-19)² + (x+11)² = 578, 2x² - 16x - 96 = 0, x² - 8x - 48 = 0, (x-12)(x+4) = 0, więc x = -4 lub x = 12. Wierzchołek A ma obie współrzędne ujemne, więc A = (-4,-4), a C = (12,12). Długość przekątnej: |AC| = √(16² + 16²) = 16√2. Trójkąt ABC jest wpisany w dany okrąg o promieniu R, więc z twierdzenia sinusów |AC|/sin|∡ABC| = 2R, skąd sin|∡ABC| = |AC|/(2R) = 16√2/(34√2) = 8/17. Odpowiedź: sin|∡ABC| = 8/17.</p>"}]}