Zadanie 25. (0-3)
Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎. Punkt 𝑃 jest środkiem
krawędzi 𝐶𝐺 tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).
Oblicz odległość wierzchołka 𝑪 od płaszczyzny zawierającej punkty 𝑩, 𝑫 oraz 𝑷.
Zapisz obliczenia.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
𝐻
𝑃
|𝑃𝐺|= ȁ𝑃𝐶ȁ
𝑎
82
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].
Wymaganie szczegółowe
X. Stereometria. Zdający:
2R) wyznacza przekroje sześcianu […].
Zasady oceniania
dla rozwiązań sposobami 1.-4.
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
2 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i wyrażenie pola tegoż trójkąta za pomocą ℎ (gdzie ℎ
jest szukaną docelowo odległością w zadaniu)
ALBO
jest szukaną docelowo odległością w zadaniu)
ALBO
ostrosłupa 𝐵𝐷𝑃𝐶 o podstawie 𝐵𝐷𝑃 za pomocą ℎ (gdzie ℎ jest szukaną
docelowo odległością w zadaniu)
ALBO
równania
(√2
2 𝑎)
2
-(|𝑃𝑆| -|𝐾𝑃|)2 = (𝑎
2)
2
-|𝐾𝑃|2
1 pkt - obliczenie odległości punktu 𝑃 od punktu 𝑆.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (z wykorzystaniem równości pól trójkąta)
Oznaczmy przez 𝑆 punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,
natomiast przez ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i obliczamy długość boku 𝑃𝑆:
|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2
|𝑃𝑆|2 = (1
2 𝑎√2)
2
2 𝑎)
2
|𝑃𝑆| = √3
2 𝑎
Ponieważ pole trójkąta 𝐶𝑃𝑆 jest równe
𝑃𝐶𝑃𝑆= 1
2 ⋅|𝐶𝑆| ⋅|𝐶𝑃| = 1
2 ⋅1
2 𝑎√2 ⋅1
2 𝑎= √2
8 𝑎2
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
83
oraz
𝑃𝐶𝑃𝑆= 1
2 ⋅|𝑃𝑆| ⋅ℎ= 1
2 ⋅1
2 𝑎√3 ⋅ℎ= √3
4 𝑎ℎ
więc
√2
8 𝑎2 = √3
4 𝑎ℎ
co daje ℎ=
√6
6 𝑎.
Szukana odległość jest równa
√6
6 𝑎.
Sposób 2. (z wykorzystaniem równości sinusów kąta)
Oznaczmy przez:
𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,
ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,
𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i obliczamy długość boku 𝑃𝑆:
|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2
|𝑃𝑆|2 = (1
2 𝑎√2)
2
2 𝑎)
2
|𝑃𝑆| = √3
2 𝑎
Obliczamy wartość sinusa kąta 𝑆𝑃𝐶 w trójkącie prostokątnym 𝑆𝐶𝑃:
sin|∡𝑆𝑃𝐶| = |𝐶𝑆|
|𝑃𝑆| =
1
2 𝑎√2
1
2 𝑎√3
= √2
√3
= √6
3
Zapisujemy sinus kąta 𝐾𝑃𝐶 jako stosunek długości odpowiednich boków w trójkącie
prostokątnym 𝐶𝐾𝑃:
sin|∡𝐾𝑃𝐶| =
|𝐶𝐾|
|𝐶𝑃| = ℎ
1
2 𝑎
Ponieważ |∡𝑆𝑃𝐶| = |∡𝐾𝑃𝐶|, więc z ostatnich dwóch równości otrzymujemy
ℎ
1
2 𝑎
= √6
3
ℎ= √6
6 𝑎
Szukana odległość jest równa
√6
6 𝑎.
84
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Sposób 3. (z wykorzystaniem równości objętości ostrosłupa)
Oznaczmy przez:
𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,
ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,
𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i obliczamy długość boku 𝑃𝑆:
|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2
|𝑃𝑆|2 = (1
2 𝑎√2)
2
2 𝑎)
2
|𝑃𝑆| = √3
2 𝑎
Obliczamy objętość ostrosłupa 𝐵𝐶𝐷𝑃 o podstawie trójkątnej 𝐵𝐶𝐷 i wysokości
opuszczonej na podstawę 𝐵𝐶𝐷 z wierzchołka 𝑃:
𝑉𝐵𝐶𝐷𝑃= 1
3 ⋅𝑃Δ𝐵𝐶𝐷⋅|𝐶𝑃| = 1
3 ⋅1
2 𝑎2 ⋅1
2 𝑎= 1
12 𝑎3
Obliczamy objętość ostrosłupa 𝐵𝐷𝑃𝐶 o podstawie trójkątnej 𝐵𝐷𝑃 i wysokości
opuszczonej na podstawę 𝐵𝐷𝑃 z wierzchołka 𝐶:
𝑉𝐵𝐷𝑃𝐶= 1
3 ⋅𝑃Δ𝐵𝐷𝑃⋅|𝐶𝐾| = 1
3 ⋅1
2 ⋅𝑎√2 ⋅√3
2 𝑎⋅ℎ= √6
12 𝑎2ℎ
Ponieważ 𝑉𝐵𝐶𝐷𝑃= 𝑉𝐵𝐷𝑃𝐶 , więc
1
12 𝑎3 = √6
12 𝑎2ℎ
ℎ= √6
6 𝑎
Szukana odległość jest równa
√6
6 𝑎.
Sposób 4. (z wykorzystaniem równości boku trójkątów prostokątnych)
Oznaczmy przez:
𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,
ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,
𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,
𝑥 - długość odcinka 𝐾𝑃.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:
|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
85
|𝑃𝑆|2 = (1
2 𝑎√2)
2
2 𝑎)
2
|𝑃𝑆| = √3
2 𝑎
Trójkąty 𝑆𝐾𝐶 oraz 𝑃𝐾𝐶 są prostokątne i mają wspólny bok 𝐾𝐶, więc
ℎ2 = |𝑆𝐶|2 -|𝑆𝐾|2 i ℎ2 = |𝑃𝐶|2 -|𝐾𝑃|2
ℎ2 = (𝑎√2
2 )
2
-(|𝑃𝑆| -𝑥)2 i ℎ2 = (𝑎
2)
2
-𝑥2
ℎ2 = (𝑎√2
2 )
2
-(√3
2 𝑎-𝑥)
2
i ℎ2 = (𝑎
2)
2
-𝑥2
(𝑎√2
2 )
2
-(√3
2 𝑎-𝑥)
2
= (𝑎
2)
2
-𝑥2
skąd otrzymujemy 𝑥=
√3
6 𝑎.
Podstawiamy 𝑥=
√3
6 𝑎 do równania ℎ2 = (𝑎
2)
2
-𝑥2 i otrzymujemy
ℎ2 = (𝑎
2)
2
-(√3
6 𝑎)
2
ℎ= √6
6 𝑎
Szukana odległość jest równa
√6
6 𝑎.
86
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Niech sześcian ma krawędź a, a S będzie środkiem podstawy ABCD (środkiem przekątnych AC i BD). P jest środkiem krawędzi CG, więc |CP| = a/2, a |CS| = ½·|AC| = ½·a√2 = a√2/2. Kąt SCP jest prosty, więc z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CPS: |PS|² = |CS|² + |CP|² = (a√2/2)² + (a/2)² = a²/2 + a²/4 = 3a²/4, |PS| = a√3/2. Pole trójkąta CPS można zapisać dwojako: P(CPS) = ½·|CS|·|CP| = ½·(a√2/2)·(a/2) = a²√2/8 oraz P(CPS) = ½·|PS|·h, gdzie h jest odległością wierzchołka C od płaszczyzny BDP (od boku PS). Z równości: a²√2/8 = ½·(a√3/2)·h = a√3·h/4, skąd h = (a²√2/8)·(4/(a√3)) = a√2/(2√3) = a√6/6. Odpowiedź: odległość wierzchołka C od płaszczyzny BDP wynosi a√6/6.
"}]}