{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/28","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"28","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 28. (0-4)\nNiech 𝑛 będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru 𝕄= {1; 2; 3; … ; 3𝑛+ 1}\nlosujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie 𝐴 odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu\nze zbioru 𝕄 trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨. Zapisz obliczenia.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n97\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1R) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;\n2R) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy\nrozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1)\noblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - rozpatrzenie wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech liczb naturalnych\ndaje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, tj. zapisanie, że moc zbioru 𝐴 wynosi\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\n2 pkt - rozpatrzenie tylko dwóch z wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech\nliczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 - tj. zapisanie, że moc zbioru\n𝐴 wynosi\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1)\nLUB\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\nLUB\n(𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\n1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy liczbę wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄:\n(3𝑛+ 1\n3\n) = (3𝑛+ 1) ⋅3𝑛⋅(3𝑛-1)\n6\n= (3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)\n2\nWyznaczamy moc zbioru 𝐴.\nZauważmy, że suma trzech liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, gdy:\n1) dwie z tych liczb są podzielne przez 3, a jedna z tych liczb daje przy dzieleniu przez 3\nresztę 1\nLUB\n2) dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 1, a jedna z tych liczb daje przy\ndzieleniu przez 3 resztę 2,\nLUB\n98\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n3) dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 2, a jedna z tych liczb jest\npodzielna przez 3.\nPonieważ w zbiorze 𝕄 mamy:\ndokładnie 𝑛 liczb podzielnych przez 3\ndokładnie 𝑛+ 1 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1\ndokładnie 𝑛 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2,\nwięc\n|𝐴| = (𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1) =\n= 𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1)\n2\n(𝑛+ 1) ⋅𝑛⋅𝑛\n2\n+ 𝑛(𝑛-1)𝑛\n2\n= 𝑛(𝑛2 -1 + 𝑛2 + 𝑛+ 𝑛2 -𝑛)\n2\n= 𝑛(3𝑛2 -1)\n2\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) =\n𝑛(3𝑛2 -1)\n2\n(3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)\n2\n3𝑛2 -1\n(3𝑛+ 1)(3𝑛-1)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zbiór M = {1,2,...,3n+1} ma n liczb podzielnych przez 3, n+1 liczb dających resztę 1 i n liczb dających resztę 2. Wszystkich trójelementowych podzbiorów jest C(3n+1,3) = (3n+1)·3n·(3n-1)/6 = (3n+1)n(3n-1)/2. Suma trzech liczb daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3 w trzech przypadkach: (a) dwie liczby dają resztę 0 i jedna resztę 1; (b) jedna daje resztę 0 i dwie resztę 2; (c) dwie dają resztę 1 i jedna resztę 2. Zatem |A| = C(n,2)·C(n+1,1) + C(n,2)·C(n,1) + C(n+1,2)·C(n,1) = n(n-1)(n+1)/2 + n(n-1)n/2 + (n+1)n·n/2 = n(3n²-1)/2. Prawdopodobieństwo: P(A) = |A|/C(3n+1,3) = [n(3n²-1)/2] / [(3n+1)n(3n-1)/2] = (3n²-1)/[(3n+1)(3n-1)]. Odpowiedź: P(A) = (3n²-1)/((3n+1)(3n-1)).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":96,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 28. (0-4)
Niech 𝑛 będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru 𝕄= {1; 2; 3; … ; 3𝑛+ 1}
losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie 𝐴 odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu
ze zbioru 𝕄 trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨. Zapisz obliczenia.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
97
Wymagania szczegółowe
XI. Kombinatoryka. Zdający:
1R) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria,
z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na
liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;
2R) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy
rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:
1)
oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
3 pkt - rozpatrzenie wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech liczb naturalnych
daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, tj. zapisanie, że moc zbioru 𝐴 wynosi
(𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛+ 1
\n

1
) + (𝑛+ 1
2
) ⋅(𝑛

\n
  1. + (𝑛
  2. ⋅(𝑛
\n

1)
2 pkt - rozpatrzenie tylko dwóch z wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech
liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 - tj. zapisanie, że moc zbioru
𝐴 wynosi
(𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛+ 1
\n

1
) + (𝑛+ 1
2
) ⋅(𝑛
1)
LUB
(𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛+ 1
\n

1
) + (𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛
\n

1)
LUB
(𝑛+ 1
2
) ⋅(𝑛

\n
  1. + (𝑛
  2. ⋅(𝑛
\n

1)
1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wyznaczamy liczbę wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄:
(3𝑛+ 1
3
) = (3𝑛+ 1) ⋅3𝑛⋅(3𝑛-1)
6
= (3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)
2
Wyznaczamy moc zbioru 𝐴.
Zauważmy, że suma trzech liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, gdy:

\n
  1. dwie z tych liczb są podzielne przez 3, a jedna z tych liczb daje przy dzieleniu przez 3
\n

resztę 1
LUB

\n
  1. dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 1, a jedna z tych liczb daje przy
\n

dzieleniu przez 3 resztę 2,
LUB
98
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025

\n
  1. dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 2, a jedna z tych liczb jest
\n

podzielna przez 3.
Ponieważ w zbiorze 𝕄 mamy:
dokładnie 𝑛 liczb podzielnych przez 3
dokładnie 𝑛+ 1 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1
dokładnie 𝑛 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2,
więc
|𝐴| = (𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛+ 1
\n

1
) + (𝑛+ 1
2
) ⋅(𝑛

\n
  1. + (𝑛
  2. ⋅(𝑛
  3. =
\n

= 𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1)
2
(𝑛+ 1) ⋅𝑛⋅𝑛
2

\n\n

2
= 𝑛(𝑛2 -1 + 𝑛2 + 𝑛+ 𝑛2 -𝑛)
2
= 𝑛(3𝑛2 -1)
2
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) =
𝑛(3𝑛2 -1)
2
(3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)
2
3𝑛2 -1
(3𝑛+ 1)(3𝑛-1)

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Zbiór M = {1,2,...,3n+1} ma n liczb podzielnych przez 3, n+1 liczb dających resztę 1 i n liczb dających resztę 2. Wszystkich trójelementowych podzbiorów jest C(3n+1,3) = (3n+1)·3n·(3n-1)/6 = (3n+1)n(3n-1)/2. Suma trzech liczb daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3 w trzech przypadkach: (a) dwie liczby dają resztę 0 i jedna resztę 1; (b) jedna daje resztę 0 i dwie resztę 2; (c) dwie dają resztę 1 i jedna resztę 2. Zatem |A| = C(n,2)·C(n+1,1) + C(n,2)·C(n,1) + C(n+1,2)·C(n,1) = n(n-1)(n+1)/2 + n(n-1)n/2 + (n+1)n·n/2 = n(3n²-1)/2. Prawdopodobieństwo: P(A) = |A|/C(3n+1,3) = [n(3n²-1)/2] / [(3n+1)n(3n-1)/2] = (3n²-1)/[(3n+1)(3n-1)]. Odpowiedź: P(A) = (3n²-1)/((3n+1)(3n-1)).

"}]}