{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/29","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"29","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 29. (0-4)\nPan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył,\nże 40% rozegranych z synem partii wygrywa.\nOblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo\nwygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od 𝟎, 𝟗𝟓.\nZapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n99\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n2R) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów w 𝑛 próbach\ni zapisanie nierówności 1 -(0,6)𝑛> 0,95.\n2 pkt - zapisanie nierówności 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95.\n1 pkt - zapisanie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPróbą Bernoullego jest rozegranie pojedynczej partii szachów z synem. Sukcesem w tej\npróbie jest wygrana pana Nowaka z synem w pojedynczej partii.\nPrawdopodobieństwo sukcesu jest równe 𝑝= 0,4, natomiast prawdopodobieństwo porażki\njest równe 𝑞= 0,6.\nNiech 𝑛 oznacza szukaną liczbę partii oraz niech\n𝑆𝑛\n0 - oznacza niewygranie przez ojca żadnej partii szachów,\n100\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n𝑆𝑛\n1 - oznacza wygranie przez ojca jednej partii szachów,\n𝑆𝑛\n2 - oznacza wygranie przez ojca dwóch partii szachów,\n⋮\n𝑆𝑛\n𝑛 - oznacza wygranie przez ojca 𝑛 partii szachów.\nKorzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo wygrania przez pana Nowaka\nco najmniej jednej partii szachów jest równe\n𝑃(𝑆𝑛\n1 ∪𝑆𝑛\n2 ∪𝑆𝑛\n3 ∪… ∪𝑆𝑛\n𝑛) = 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0)\nZatem\n1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95\n1 -(𝑛\n0) ⋅(0,4)0 ⋅(0,6)𝑛> 0,95\n1 -(0,6)𝑛> 0,95\n(0,6)𝑛< 0,05\n𝑛≥6\nPan Nowak musi rozegrać z synem co najmniej sześć partii.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Pojedyncza partia to próba Bernoulliego: sukces (wygrana ojca) z prawdopodobieństwem p = 0,4, porażka z q = 0,6. Niech n będzie szukaną liczbą partii. Prawdopodobieństwo, że ojciec wygra co najmniej jedną partię, to 1 - P(0 sukcesów) = 1 - qⁿ = 1 - 0,6ⁿ. Wymagamy 1 - 0,6ⁿ > 0,95, czyli 0,6ⁿ < 0,05. Sprawdzamy: 0,6⁵ ≈ 0,0778 > 0,05, a 0,6⁶ ≈ 0,0467 < 0,05. Zatem najmniejsza liczba partii spełniająca warunek to n = 6. Odpowiedź: pan Nowak musi rozegrać co najmniej 6 partii.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":98,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 29. (0-4)
Pan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył,
że 40% rozegranych z synem partii wygrywa.
Oblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo
wygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od 𝟎, 𝟗𝟓.
Zapisz obliczenia.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
99
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymaganie szczegółowe
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:
2R) stosuje schemat Bernoullego.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
3 pkt - zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów w 𝑛 próbach
i zapisanie nierówności 1 -(0,6)𝑛> 0,95.
2 pkt - zapisanie nierówności 1 -𝑃(𝑆𝑛

\n
  1. > 0,95.
\n

1 pkt - zapisanie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Próbą Bernoullego jest rozegranie pojedynczej partii szachów z synem. Sukcesem w tej
próbie jest wygrana pana Nowaka z synem w pojedynczej partii.
Prawdopodobieństwo sukcesu jest równe 𝑝= 0,4, natomiast prawdopodobieństwo porażki
jest równe 𝑞= 0,6.
Niech 𝑛 oznacza szukaną liczbę partii oraz niech
𝑆𝑛
0 - oznacza niewygranie przez ojca żadnej partii szachów,
100
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
𝑆𝑛
1 - oznacza wygranie przez ojca jednej partii szachów,
𝑆𝑛
2 - oznacza wygranie przez ojca dwóch partii szachów,
⋮
𝑆𝑛
𝑛 - oznacza wygranie przez ojca 𝑛 partii szachów.
Korzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo wygrania przez pana Nowaka
co najmniej jednej partii szachów jest równe
𝑃(𝑆𝑛
1 ∪𝑆𝑛
2 ∪𝑆𝑛
3 ∪… ∪𝑆𝑛
𝑛) = 1 -𝑃(𝑆𝑛
0)
Zatem
1 -𝑃(𝑆𝑛

\n
  1. > 0,95
\n

1 -(𝑛

\n
  1. ⋅(0,4)0 ⋅(0,6)𝑛> 0,95
\n

1 -(0,6)𝑛> 0,95
(0,6)𝑛< 0,05
𝑛≥6
Pan Nowak musi rozegrać z synem co najmniej sześć partii.

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Pojedyncza partia to próba Bernoulliego: sukces (wygrana ojca) z prawdopodobieństwem p = 0,4, porażka z q = 0,6. Niech n będzie szukaną liczbą partii. Prawdopodobieństwo, że ojciec wygra co najmniej jedną partię, to 1 - P(0 sukcesów) = 1 - qⁿ = 1 - 0,6ⁿ. Wymagamy 1 - 0,6ⁿ > 0,95, czyli 0,6ⁿ < 0,05. Sprawdzamy: 0,6⁵ ≈ 0,0778 > 0,05, a 0,6⁶ ≈ 0,0467 < 0,05. Zatem najmniejsza liczba partii spełniająca warunek to n = 6. Odpowiedź: pan Nowak musi rozegrać co najmniej 6 partii.

"}]}