{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-3)\nNa rysunku obok przedstawiono fragment wykresu\nwielomianu 𝑊 określonego wzorem\n𝑊(𝑥) = 1\n8 𝑥3 -2𝑥2 + 67\n8 𝑥-3\ndla każdego 𝑥∈ℝ.\nOblicz wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑾.\nZapisz obliczenia.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi […] w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1R) dzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥-𝑎;\n3R) znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.\n𝑦= 𝑊(𝑥)\n1\n𝑥\n𝑦\n1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n19\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie wszystkich pierwiastków wielomianu 𝑊.\n2 pkt - sprawdzenie, że liczba 8 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊 oraz podzielenie\nwielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥-8).\n1 pkt - zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach całkowitych do wielomianu\n𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24 i określenie liczb całkowitych mogących być pierwiastkami\nwielomianu 𝑊.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wielomian 𝑊 do postaci 𝑊(𝑥) = 1\n8 (𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24).\nStosujemy do wielomianu 𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24 twierdzenie o pierwiastkach całkowitych\nwielomianu o współczynnikach całkowitych.\nNa mocy tego twierdzenia wnosimy, że jeśli wielomian 𝑊 ma pierwiastek całkowity, to\nnależy on do zbioru {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24}.\nPonieważ dla 𝑥≤0 mamy 𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24 < 0, więc wielomian 𝑊 nie ma\npierwiastków ujemnych. Na podstawie fragmentu wykresu funkcji 𝑊 stwierdzamy, że jeden\nz pierwiastków całkowitych wielomianu może znajdować się w przedziale (7, +∞).\nZatem pierwiastki całkowite wielomianu 𝑊 mogą być jedynie wśród liczb 8, 12 oraz 24.\nSprawdzamy, czy liczba 8 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊:\n𝑊(8) = 1\n8 ⋅(83 -16 ⋅82 + 67 ⋅8 -24) = 0\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥-8).\nDzielimy wielomian 𝑊 przez dwumian (𝑥-8) i zapisujemy wielomian 𝑊 w postaci\niloczynu:\n𝑊(𝑥) = 1\n8 ⋅(𝑥-8)(𝑥2 -8𝑥+ 3)\nPierwiastkami trójmianu 𝑥2 -8𝑥+ 3 są liczby: 4 -√13 oraz 4 + √13.\nPierwiastkami wielomianu 𝑊 są liczby: 4 -√13, 4 + √13 oraz 8.\n20\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z wykresu odczytujemy, że x=8 jest pierwiastkiem: W(8) = 0. Dzielimy wielomian przez (x-8): W(x) = (1/8)(x-8)(x²-8x+3). Pierwiastki trójmiata x²-8x+3 to x = 4±√13. Pierwiastki wielomianu: 4-√13, 8, 4+√13.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":18,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu
wielomianu 𝑊 określonego wzorem
𝑊(𝑥) = 1
8 𝑥3 -2𝑥2 + 67
8 𝑥-3
dla każdego 𝑥∈ℝ.
Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑾.
Zapisz obliczenia.
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi […] w formie
wykresów, diagramów, tabel.
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:
1R) dzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥-𝑎;
3R) znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.
𝑦= 𝑊(𝑥)
1
𝑥
𝑦
1
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
19
Zasady oceniania
3 pkt - obliczenie wszystkich pierwiastków wielomianu 𝑊.
2 pkt - sprawdzenie, że liczba 8 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊 oraz podzielenie
wielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥-8).
1 pkt - zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach całkowitych do wielomianu
𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24 i określenie liczb całkowitych mogących być pierwiastkami
wielomianu 𝑊.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy wielomian 𝑊 do postaci 𝑊(𝑥) = 1
8 (𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24).
Stosujemy do wielomianu 𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24 twierdzenie o pierwiastkach całkowitych
wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Na mocy tego twierdzenia wnosimy, że jeśli wielomian 𝑊 ma pierwiastek całkowity, to
należy on do zbioru {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24}.
Ponieważ dla 𝑥≤0 mamy 𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24 < 0, więc wielomian 𝑊 nie ma
pierwiastków ujemnych. Na podstawie fragmentu wykresu funkcji 𝑊 stwierdzamy, że jeden
z pierwiastków całkowitych wielomianu może znajdować się w przedziale (7, +∞).
Zatem pierwiastki całkowite wielomianu 𝑊 mogą być jedynie wśród liczb 8, 12 oraz 24.
Sprawdzamy, czy liczba 8 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊:
𝑊(8) = 1
8 ⋅(83 -16 ⋅82 + 67 ⋅8 -24) = 0
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥-8).
Dzielimy wielomian 𝑊 przez dwumian (𝑥-8) i zapisujemy wielomian 𝑊 w postaci
iloczynu:
𝑊(𝑥) = 1
8 ⋅(𝑥-8)(𝑥2 -8𝑥+ 3)
Pierwiastkami trójmianu 𝑥2 -8𝑥+ 3 są liczby: 4 -√13 oraz 4 + √13.
Pierwiastkami wielomianu 𝑊 są liczby: 4 -√13, 4 + √13 oraz 8.
20
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Z wykresu odczytujemy, że x=8 jest pierwiastkiem: W(8) = 0. Dzielimy wielomian przez (x-8): W(x) = (1/8)(x-8)(x²-8x+3). Pierwiastki trójmiata x²-8x+3 to x = 4±√13. Pierwiastki wielomianu: 4-√13, 8, 4+√13.

"}]}