{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/30","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 30. (0-3)\nPewna choroba dotyka 0,2% całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych\nobjawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który\ndaje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na\nosobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę), jest równe 0,99. Ponadto\nwiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik\nnegatywny, jest równe 0,98.\nPan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie\nchoroby.\nOblicz prawdopodobieństwo tego, że pan X jest rzeczywiście chory. Wynik zapisz\nw postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n101\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi […].\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1R) […] stosuje wzór Bayesa […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - zastosowanie wzoru Bayesa.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(-|𝐶) oraz 𝑃(+|𝑍).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n„+” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi\notrzyma wynik pozytywny,\n„-” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi\notrzyma wynik negatywny,\n𝑍 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest zdrowa,\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest chora.\nNależy obliczyć 𝑃(𝐶|+).\nZgodnie z warunkami zadania:\n𝑃(𝐶) = 0,002,\nwięc\n𝑃(𝑍) = 0,998\n𝑃(+|𝐶) = 0,99,\nwięc\n𝑃(-|𝐶) = 0,01\n𝑃(-|𝑍) = 0,98,\nwięc\n𝑃(+|𝑍) = 0,02.\n102\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nStosujemy twierdzenie Bayesa i obliczamy szukane prawdopodobieństwo:\n𝑃(𝐶|+) = 𝑃(+|𝐶) ⋅\n𝑃(𝐶)\n𝑃(+|𝑍) ⋅𝑃(𝑍) + 𝑃(+|𝐶) ⋅𝑃(𝐶)\n𝑃(𝐶|+) = 0,99 ⋅\n0,002\n0,02 ⋅0,998 + 0,99 ⋅0,002 =\n99\n1097 ≈0,09","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczmy: C — osoba chora, Z — osoba zdrowa, + — wynik pozytywny. Z treści: P(C) = 0,002, P(Z) = 0,998, P(+|C) = 0,99, P(+|Z) = 1 - 0,98 = 0,02. Szukamy P(C|+). Ze wzoru Bayesa: P(C|+) = P(+|C)·P(C) / [P(+|C)·P(C) + P(+|Z)·P(Z)] = (0,99·0,002) / (0,99·0,002 + 0,02·0,998) = 0,00198 / (0,00198 + 0,01996) = 0,00198 / 0,02194 = 198/2194 = 99/1097 ≈ 0,09. Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że pan X jest rzeczywiście chory, wynosi ≈ 0,09.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":100,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 30. (0-3)
Pewna choroba dotyka 0,2% całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych
objawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który
daje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na
osobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę), jest równe 0,99. Ponadto
wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik
negatywny, jest równe 0,98.
Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie
choroby.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pan X jest rzeczywiście chory. Wynik zapisz
w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
101
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi […].
Wymaganie szczegółowe
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:
1R) […] stosuje wzór Bayesa […].
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
2 pkt - zastosowanie wzoru Bayesa.
1 pkt - obliczenie prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(-|𝐶) oraz 𝑃(+|𝑍).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
„+” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi
otrzyma wynik pozytywny,
„-” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi
otrzyma wynik negatywny,
𝑍 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest zdrowa,
𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest chora.
Należy obliczyć 𝑃(𝐶|+).
Zgodnie z warunkami zadania:
𝑃(𝐶) = 0,002,
więc
𝑃(𝑍) = 0,998
𝑃(+|𝐶) = 0,99,
więc
𝑃(-|𝐶) = 0,01
𝑃(-|𝑍) = 0,98,
więc
𝑃(+|𝑍) = 0,02.
102
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Stosujemy twierdzenie Bayesa i obliczamy szukane prawdopodobieństwo:
𝑃(𝐶|+) = 𝑃(+|𝐶) ⋅
𝑃(𝐶)
𝑃(+|𝑍) ⋅𝑃(𝑍) + 𝑃(+|𝐶) ⋅𝑃(𝐶)
𝑃(𝐶|+) = 0,99 ⋅
0,002
0,02 ⋅0,998 + 0,99 ⋅0,002 =
99
1097 ≈0,09

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Oznaczmy: C — osoba chora, Z — osoba zdrowa, + — wynik pozytywny. Z treści: P(C) = 0,002, P(Z) = 0,998, P(+|C) = 0,99, P(+|Z) = 1 - 0,98 = 0,02. Szukamy P(C|+). Ze wzoru Bayesa: P(C|+) = P(+|C)·P(C) / [P(+|C)·P(C) + P(+|Z)·P(Z)] = (0,99·0,002) / (0,99·0,002 + 0,02·0,998) = 0,00198 / (0,00198 + 0,01996) = 0,00198 / 0,02194 = 198/2194 = 99/1097 ≈ 0,09. Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że pan X jest rzeczywiście chory, wynosi ≈ 0,09.

"}]}