{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -3𝑥+41\n𝑥-13 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠13.\nPunktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego obie\nwspółrzędne są liczbami całkowitymi.\nWyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji 𝒇. Zapisz obliczenia.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […].\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\nDobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania […].\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n4)\nmnoży i dzieli wyrażenia wymierne.\nV. Funkcje. Zdający:\n13)\nposługuje się funkcją 𝑓(𝑥) = 𝑎\n𝑥 […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - poprawne określenie dwóch z czterech możliwych przypadków, dla których\n2\n𝑥-13 ∈ℤ\ni poprawne wyznaczenie dwóch punktów kratowych.\n1 pkt - przekształcenie wzoru funkcji 𝑓 do postaci 𝑓(𝑥) = -3 +\n2\n𝑥-13 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n21\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcję 𝑓 przedstawiamy w postaci:\n𝑓(𝑥) = -3𝑥+ 41\n𝑥-13\n= -3(𝑥-13) + 2\n𝑥-13\n= -3 +\n2\n𝑥-13\nWyznaczamy punkty kratowe.\nWartość funkcji 𝑓 będzie liczbą całkowitą tylko wtedy, gdy 2\n𝑥-13 ∈ℤ.\nSzukamy całkowitych wartości 𝑥 (różnych od 13) takich, dla których (𝑥-13) jest\ndzielnikiem 2. To prowadzi do następujących czterech przypadków:\n• 𝑥-13 = -2, co daje 𝑥= 11 i 𝑓(11) = -3 -1 = -4 ∈ℤ\n• 𝑥-13 = -1, co daje 𝑥= 12 i 𝑓(12) = -3 -2 = -5 ∈ℤ\n• 𝑥-13 = 1, co daje 𝑥= 14 i 𝑓(14) = -3 + 2 = -1 ∈ℤ\n• 𝑥-13 = 2, co daje 𝑥= 15 i 𝑓(15) = -3 + 1 = -2 ∈ℤ.\nDo wykresu funkcji 𝑓 należą cztery punkty kratowe o współrzędnych: (11, -4), (12, -5),\n(14, -1), (15, -2).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zapisujemy f(x) = -3 + 2/(x-13). Dla punktów kratowych f(x) musi być liczbą całkowitą, więc (x-13) musi dzielić 2. Dzielniki 2: ±1, ±2. Stąd x ∈ {11, 12, 14, 15}. Punkty kratowe: (11,-4), (12,-5), (14,-1), (15,-2).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":20,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 4. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -3𝑥+41
𝑥-13 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠13.
Punktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego obie
współrzędne są liczbami całkowitymi.
Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji 𝒇. Zapisz obliczenia.
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […].
IV. Rozumowanie i argumentacja.
3.
Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów,
tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania […].
Wymagania szczegółowe
II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:
4)
mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.
V. Funkcje. Zdający:
13)
posługuje się funkcją 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥 […].
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
2 pkt - poprawne określenie dwóch z czterech możliwych przypadków, dla których
2
𝑥-13 ∈ℤ
i poprawne wyznaczenie dwóch punktów kratowych.
1 pkt - przekształcenie wzoru funkcji 𝑓 do postaci 𝑓(𝑥) = -3 +
2
𝑥-13 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
21
Przykładowe pełne rozwiązanie
Funkcję 𝑓 przedstawiamy w postaci:
𝑓(𝑥) = -3𝑥+ 41
𝑥-13
= -3(𝑥-13) + 2
𝑥-13
= -3 +
2
𝑥-13
Wyznaczamy punkty kratowe.
Wartość funkcji 𝑓 będzie liczbą całkowitą tylko wtedy, gdy 2
𝑥-13 ∈ℤ.
Szukamy całkowitych wartości 𝑥 (różnych od 13) takich, dla których (𝑥-13) jest
dzielnikiem 2. To prowadzi do następujących czterech przypadków:
• 𝑥-13 = -2, co daje 𝑥= 11 i 𝑓(11) = -3 -1 = -4 ∈ℤ
• 𝑥-13 = -1, co daje 𝑥= 12 i 𝑓(12) = -3 -2 = -5 ∈ℤ
• 𝑥-13 = 1, co daje 𝑥= 14 i 𝑓(14) = -3 + 2 = -1 ∈ℤ
• 𝑥-13 = 2, co daje 𝑥= 15 i 𝑓(15) = -3 + 1 = -2 ∈ℤ.
Do wykresu funkcji 𝑓 należą cztery punkty kratowe o współrzędnych: (11, -4), (12, -5),
(14, -1), (15, -2).

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Zapisujemy f(x) = -3 + 2/(x-13). Dla punktów kratowych f(x) musi być liczbą całkowitą, więc (x-13) musi dzielić 2. Dzielniki 2: ±1, ±2. Stąd x ∈ {11, 12, 14, 15}. Punkty kratowe: (11,-4), (12,-5), (14,-1), (15,-2).

"}]}