{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/5","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (0-3)\nWielomian 𝑊 jest określony wzorem 𝑊(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1) dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których wielomian 𝑾 ma dokładnie\njeden pierwiastek rzeczywisty. Zapisz obliczenia.\n22\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania […].\nWymaganie szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n5R) analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę\nrozwiązań w zależności od parametrów […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - wyznaczenie tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja kwadratowa\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 nie ma miejsc zerowych\nALBO\n- wyznaczenie tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja kwadratowa\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 1.\n1 pkt - zapisanie, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊 i zapisanie warunków, jakie\nmuszą być spełnione, aby wielomian 𝑊 miał dokładnie jedno miejsce zerowe.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊. Zatem wielomian 𝑊 ma\ndokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty tylko wtedy, gdy funkcja kwadratowa\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 1 lub gdy funkcja 𝑓\nnie ma miejsc zerowych.\nZatem\nΔ < 0 lub (Δ = 0 i 𝑥0 = 1)\n𝑚2 -4𝑚+ 4 < 0 lub (𝑚2 -4𝑚+ 4 = 0 i -𝑏\n2𝑎= 1)\n(𝑚-2)2 < 0 lub ((𝑚-2)2 = 0 i 𝑚\n2 = 1)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n23\nNierówność (𝑚-2)2 < 0 jest sprzeczna, natomiast z warunków\n(𝑚-2)2 = 0 i 𝑚\n2 = 1\notrzymujemy 𝑚= 2.\nOdp. 𝑚= 2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"x=1 jest zawsze pierwiastkiem. Wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, gdy trójmiat x²-mx+m-1 nie ma miejsc zerowych lub ma podwójne miejsce równe 1. Wyznacznik Δ = (m-2)². Warunek Δ < 0 jest niemożliwy. Dla Δ = 0 mamy m=2, wtedy x²-2x+1 = (x-1)² i W(x) = (x-1)³. Wynik: m = 2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":21,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-3)<br>Wielomian 𝑊 jest określony wzorem 𝑊(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1) dla<br>każdego 𝑥∈ℝ.<br>Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których wielomian 𝑾 ma dokładnie<br>jeden pierwiastek rzeczywisty. Zapisz obliczenia.<br>22<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025<br>Wymaganie ogólne<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>1.<br>Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania […].<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Równania i nierówności. Zdający:<br>5R) analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania<br>i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę<br>rozwiązań w zależności od parametrów […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.<br>2 pkt - wyznaczenie tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja kwadratowa<br>𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 nie ma miejsc zerowych<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja kwadratowa</li></ul>\n<p>𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 1.<br>1 pkt - zapisanie, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊 i zapisanie warunków, jakie<br>muszą być spełnione, aby wielomian 𝑊 miał dokładnie jedno miejsce zerowe.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Zauważmy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊. Zatem wielomian 𝑊 ma<br>dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty tylko wtedy, gdy funkcja kwadratowa<br>𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 1 lub gdy funkcja 𝑓<br>nie ma miejsc zerowych.<br>Zatem<br>Δ &lt; 0 lub (Δ = 0 i 𝑥0 = 1)<br>𝑚2 -4𝑚+ 4 &lt; 0 lub (𝑚2 -4𝑚+ 4 = 0 i -𝑏<br>2𝑎= 1)<br>(𝑚-2)2 &lt; 0 lub ((𝑚-2)2 = 0 i 𝑚<br>2 = 1)<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>23<br>Nierówność (𝑚-2)2 &lt; 0 jest sprzeczna, natomiast z warunków<br>(𝑚-2)2 = 0 i 𝑚<br>2 = 1<br>otrzymujemy 𝑚= 2.<br>Odp. 𝑚= 2.</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>x=1 jest zawsze pierwiastkiem. Wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, gdy trójmiat x²-mx+m-1 nie ma miejsc zerowych lub ma podwójne miejsce równe 1. Wyznacznik Δ = (m-2)². Warunek Δ &lt; 0 jest niemożliwy. Dla Δ = 0 mamy m=2, wtedy x²-2x+1 = (x-1)² i W(x) = (x-1)³. Wynik: m = 2.</p>"}]}