{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/6","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-4)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥2 + (𝑝-1)𝑥+ 1 -2𝑝 dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa\nmiejsca zerowe różniące się o 𝟏. Zapisz obliczenia.\n24\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania […].\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n3R) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;\n5R) analizuje […] równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności\nwyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów […] i wyznacza\nrozwiązania w zależności od parametrów.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - rozwiązanie równania |1 -1-2𝑝\n𝑝\n| = 1.\n2 pkt - zapisanie równania |𝑥1 -𝑥2| = 1 w postaci równania z jedną niewiadomą 𝑝, np.\n|1 -1-2𝑝\n𝑝\n| = 1.\n1 pkt - zapisanie i sprawdzenie rachunkiem, że liczba 𝑥1 = 1 jest miejscem zerowym\nfunkcji 𝑓 oraz wyznaczenie miejsca zerowego 𝑥2 funkcji 𝑓: 𝑥2 = 1-2𝑝\n𝑝\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ 𝑓 jest funkcją kwadratową, więc 𝑝≠0.\nZauważamy, że liczba 𝑥1 = 1 jest miejscem zerowym funkcji 𝑓:\n𝑓(1) = 𝑝⋅12 + (𝑝-1) ⋅1 + 1 -2𝑝= 0\nKorzystamy ze wzorów Viète’a i wyznaczamy miejsce zerowe 𝑥2 funkcji 𝑓:\n𝑥1 ⋅𝑥2 = 1 -2𝑝\n𝑝\n𝑥2 = 1 -2𝑝\n𝑝\nMiejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 funkcji 𝑓 różnią się o 1, gdy |𝑥1 -𝑥2| = 1.\nRozwiązujemy równanie |𝑥1 -𝑥2| = 1:\n|𝑥1 -𝑥2| = 1\n|1 -1 -2𝑝\n𝑝\n| = 1\n|3𝑝-1\n𝑝\n| = 1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n25\n3𝑝-1\n𝑝\n= 1 ∨ 3𝑝-1\n𝑝\n= -1\n3𝑝-1 = 𝑝 ∨ 3𝑝-1 = -𝑝\n𝑝= 1\n2 ∨ 𝑝= 1\n4\nDla 𝑝= 1\n4 funkcja 𝑓 przyjmuje postać 𝑓(𝑥) = 1\n4 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 1\n2 i ma dwa rzeczywiste\nmiejsca zerowe: 1 oraz 2.\nDla 𝑝= 1\n2 funkcja 𝑓 przyjmuje postać 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -1\n2 𝑥 i ma dwa rzeczywiste miejsca\nzerowe: 0 oraz 1.\nZatem funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 tylko wtedy, gdy\n𝑝= 1\n4 lub 𝑝= 1\n2 .\n26\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nFUNKCJE, CIĄGI, TRYGONOMETRIA,\nOPTYMALIZACJA I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY","answer":null,"answer_text":null,"solution":"x=1 jest zawsze miejscem zerowym: f(1)=0. Z twierdzeni Viète'a: x₂ = (1-2p)/p. Warunek |x₁-x₂|=1 daje |(3p-1)/p|=1. Rozwiązując: (3p-1)/p = 1 → p=1/2 lub (3p-1)/p = -1 → p=1/4. Oba p dają dwa różne miejsca zerowe. Wynik: p = 1/2 lub p = 1/4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":23,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 6. (0-4)
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥2 + (𝑝-1)𝑥+ 1 -2𝑝 dla
każdego 𝑥∈ℝ.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa
miejsca zerowe różniące się o 𝟏. Zapisz obliczenia.
24
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania […].
Wymagania szczegółowe
III. Równania i nierówności. Zdający:
3R) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
5R) analizuje […] równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności
wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów […] i wyznacza
rozwiązania w zależności od parametrów.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
3 pkt - rozwiązanie równania |1 -1-2𝑝
𝑝
| = 1.
2 pkt - zapisanie równania |𝑥1 -𝑥2| = 1 w postaci równania z jedną niewiadomą 𝑝, np.
|1 -1-2𝑝
𝑝
| = 1.
1 pkt - zapisanie i sprawdzenie rachunkiem, że liczba 𝑥1 = 1 jest miejscem zerowym
funkcji 𝑓 oraz wyznaczenie miejsca zerowego 𝑥2 funkcji 𝑓: 𝑥2 = 1-2𝑝
𝑝
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Ponieważ 𝑓 jest funkcją kwadratową, więc 𝑝≠0.
Zauważamy, że liczba 𝑥1 = 1 jest miejscem zerowym funkcji 𝑓:
𝑓(1) = 𝑝⋅12 + (𝑝-1) ⋅1 + 1 -2𝑝= 0
Korzystamy ze wzorów Viète’a i wyznaczamy miejsce zerowe 𝑥2 funkcji 𝑓:
𝑥1 ⋅𝑥2 = 1 -2𝑝
𝑝
𝑥2 = 1 -2𝑝
𝑝
Miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 funkcji 𝑓 różnią się o 1, gdy |𝑥1 -𝑥2| = 1.
Rozwiązujemy równanie |𝑥1 -𝑥2| = 1:
|𝑥1 -𝑥2| = 1
|1 -1 -2𝑝
𝑝
| = 1
|3𝑝-1
𝑝
| = 1
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
25
3𝑝-1
𝑝
= 1 ∨ 3𝑝-1
𝑝
= -1
3𝑝-1 = 𝑝 ∨ 3𝑝-1 = -𝑝
𝑝= 1
2 ∨ 𝑝= 1
4
Dla 𝑝= 1
4 funkcja 𝑓 przyjmuje postać 𝑓(𝑥) = 1
4 𝑥2 -3
4 𝑥+ 1
2 i ma dwa rzeczywiste
miejsca zerowe: 1 oraz 2.
Dla 𝑝= 1
2 funkcja 𝑓 przyjmuje postać 𝑓(𝑥) = 1
2 𝑥2 -1
2 𝑥 i ma dwa rzeczywiste miejsca
zerowe: 0 oraz 1.
Zatem funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 tylko wtedy, gdy
𝑝= 1
4 lub 𝑝= 1
2 .
26
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
FUNKCJE, CIĄGI, TRYGONOMETRIA,
OPTYMALIZACJA I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

x=1 jest zawsze miejscem zerowym: f(1)=0. Z twierdzeni Viète'a: x₂ = (1-2p)/p. Warunek |x₁-x₂|=1 daje |(3p-1)/p|=1. Rozwiązując: (3p-1)/p = 1 → p=1/2 lub (3p-1)/p = -1 → p=1/4. Oba p dają dwa różne miejsca zerowe. Wynik: p = 1/2 lub p = 1/4.

"}]}