Zadanie 7. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥
𝑥+1 dla każdego 𝑥∈(-1, +∞).
Wykaż, że 𝒇 jest funkcją rosnącą.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
Wymagania szczegółowe
V. Funkcje. Zdający:
3R) dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem […].
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
27
Zasady oceniania
dla rozwiązań sposobami 1., 2. oraz 3.
3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.
2 pkt - poprawne określenie znaku różnicy
𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =
3(𝑥2 -𝑥1)
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) > 0
ALBO
𝑓′(𝑥) =
3
(𝑥+ 1)2 > 0
ALBO
1
𝑥1+1 < 3 -
1
𝑥2+1 .
1 pkt - zapisanie założeń 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) i 𝑥2 > 𝑥1 oraz obliczenie różnicy
𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =
3(𝑥2 -𝑥1)
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)
ALBO
𝑓′(𝑥) =
3
(𝑥+ 1)2
ALBO
𝑥2 > 𝑥1 do postaci
1
𝑥2+1 <
1
𝑥1+1 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązań sposobami 4. oraz 5.
3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.
2 pkt - zapisanie, że wykres funkcji 𝑓 można otrzymać z przesunięcia wykresu funkcji
𝑔(𝑥) = -3
𝑥 o wektor [-1, 3]
ALBO
𝑥+1
zmniejsza się.
1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 3 -
3
𝑥+1 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (z wykorzystaniem definicji).
Niech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) oraz 𝑥2 > 𝑥1. Wtedy
𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =
3𝑥2
𝑥2 + 1 -
3𝑥1
𝑥1 + 1 = 3𝑥2(𝑥1 + 1) -3𝑥1(𝑥2 + 1)
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)
3(𝑥2 -𝑥1)
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)
Ponieważ 𝑥2 > 𝑥1 , więc różnica 𝑥2 -𝑥1 jest dodatnia.
28
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Z założenia 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞), więc 𝑥2 + 1 > 0 oraz 𝑥1 + 1 > 0, oraz
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) > 0.
Iloraz liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, więc
3(𝑥2-𝑥1)
(𝑥2+1)(𝑥1+1) > 0.
Zatem 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) dla każdego 𝑥1 oraz 𝑥2 takich, że 𝑥1 > -1, 𝑥2 > -1 i 𝑥2 > 𝑥1 .
To oznacza, że funkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale (-1, +∞). To kończy dowód.
Sposób 2. (z wykorzystaniem rachunku różniczkowego).
Niech 𝑥∈(-1, +∞).
Wyznaczamy pochodną 𝑓′ funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) =
(3𝑥)′ ⋅(𝑥+ 1) -(3𝑥) ⋅(𝑥+ 1)′
(𝑥+ 1)2
= 3(𝑥+ 1) -3𝑥⋅1
(𝑥+ 1)2
3
(𝑥+ 1)2
dla każdego 𝑥∈(-1, +∞).
Funkcja 𝑓 jest różniczkowalna w przedziale (-1, +∞), a jej pochodna jest w każdym
punkcie tego przedziału dodatnia. Zatem funkcja 𝑓 jest w tym przedziale rosnąca.
To kończy dowód.
Sposób 3. (oparty na definicji funkcji rosnącej).
Niech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) będą dwoma dowolnymi argumentami funkcji 𝑓. Załóżmy, że
𝑥1 < 𝑥2. Wtedy
0 < 𝑥1 + 1 < 𝑥2 + 1
Dzieląc obie strony nierówności 𝑥1 + 1 < 𝑥2 + 1 przez liczbę dodatnią (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1),
otrzymujemy nierówność równoważną
1
𝑥2 + 1 <
1
𝑥1 + 1
i dalej
3
𝑥2 + 1 <
3
𝑥1 + 1
3
𝑥1 + 1 < -
3
𝑥2 + 1
3 -
3
𝑥1 + 1 < 3 -
3
𝑥2 + 1
3𝑥1 + 3
𝑥1 + 1 -
3
𝑥1 + 1 < 3𝑥2 + 3
𝑥2 + 1 -
3
𝑥2 + 1
3𝑥1
𝑥1 + 1 <
3𝑥2
𝑥2 + 1
𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
29
To oznacza, że funkcja 𝑓 jest rosnąca.
Sposób 4. (z wykorzystaniem własności funkcji postaci 𝑦= 𝑎
𝑥 ).
Wzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:
𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥+ 1 = (3𝑥+ 3) -3
𝑥+ 1
= 3 -
3
𝑥+ 1
Wykres funkcji 𝑓 można uzyskać przez przesunięcie wykresu funkcji 𝑔(𝑥) = -3
𝑥
(określonej dla 𝑥> 0) o wektor [-1, 3]. Z własności funkcji 𝑔 wynika, że funkcja 𝑔 jest
rosnąca dla 𝑥> 0, więc funkcja 𝑓 jest rosnąca dla 𝑥> -1.
To kończy dowód.
Sposób 5. (oparty na umiejętności porównywania ułamków).
Wzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:
𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥+ 1 =
(3𝑥+ 3) -3
𝑥+ 1
= 3 -
3
𝑥+ 1
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥> -1 ułamek 3
𝑥+1 jest dodatni, a ponieważ licznik jest
stały i dodatni, to ułamek jest tym mniejszy, im jego mianownik jest większy. Zatem ze
wzrostem liczby 𝑥> -1 liczba 3 -
3
𝑥+1 jest coraz większa. Tym samym funkcja 𝑓 jest
rosnąca.
Dla x₁, x₂ ∈ (-1,+∞) z x₂ > x₁: f(x₂)-f(x₁) = 3(x₂-x₁)/[(x₂+1)(x₁+1)]. Ponieważ x₁, x₂ > -1, mianownik jest dodatni, a x₂-x₁ > 0, zatem f(x₂) > f(x₁). Alternatywnie: f'(x) = 3/(x+1)² > 0 dla x > -1. Funkcja f jest rosnąca w przedziale (-1,+∞).
"}]}