Zadanie 8. (0-2)
Oblicz granicę 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞√𝟔𝒏+ 𝟕𝒏
𝒏
. Zapisz obliczenia.
30
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymaganie szczegółowe
VI. Ciągi. Zdający:
1R) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1
𝑛, √𝑎
𝑛
oraz twierdzeń
o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia
o trzech ciągach.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.
1 pkt - określenie ciągów (𝑎𝑛) i (𝑐𝑛) takich, że lim
𝑛→∞𝑎𝑛= lim
𝑛→∞𝑐𝑛 oraz
𝑎𝑛≤√6𝑛+ 7𝑛
𝑛
≤𝑐𝑛 dla prawie wszystkich 𝑛, oraz obliczenie granicy jednego
z tych ciągów, np.: 𝑎𝑛= √7𝑛
𝑛
i 𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛
𝑛
oraz lim
𝑛→∞𝑎𝑛= 7.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach.
Rozważmy ciągi 𝑎𝑛= √7𝑛
𝑛
oraz 𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛
𝑛
określone dla każdego 𝑛∈ℕ.
Zauważmy, że 7𝑛≤6𝑛+ 7𝑛≤2 ⋅7𝑛 dla każdego 𝑛∈ℕ, więc
√7𝑛
𝑛
≤√6𝑛+ 7𝑛
𝑛
≤ √2 ⋅7𝑛
𝑛
Ponadto lim
𝑛→∞√7𝑛
𝑛
= 7 oraz lim
𝑛→∞√2 ⋅7𝑛
𝑛
= lim
𝑛→∞( √2
𝑛
⋅7) = 7 ⋅lim
𝑛→∞√2
𝑛
= 7 ⋅1 = 7 (gdyż
lim
𝑛→∞√2
𝑛
= 1) , więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach lim
𝑛→∞√6𝑛+ 7𝑛
𝑛
= 7.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
31
Z twierdzenia o trzech ciągach: 7ⁿ ≤ 6ⁿ+7ⁿ ≤ 2·7ⁿ, więc ⁿ√7ⁿ ≤ ⁿ√(6ⁿ+7ⁿ) ≤ ⁿ√2·7. Ponieważ lim ⁿ√7ⁿ = 7 i lim ⁿ√2·7 = 7·1 = 7, na mocy twierdzenia o trzech ciągach granica wynosi 7.
"}]}