Zadanie 9. (0-4)
Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia
ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry.
W chwili 𝑡= 0 znajduje się on w punkcie 𝒪
oddalonym od szczytu o 4 km, a położenie 𝑥
Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane
zależnością
𝑥(𝑡) = -𝑡3 + 16,5𝑡2 + 180𝑡 dla 𝑡∈[0, 24]
gdzie 𝑥 jest wyrażone w metrach, a 𝑡 - w godzinach.
Oś 𝒪𝑥 jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza
góry.
Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz
największą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę. Zapisz obliczenia.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
32
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025
Wymagania szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
3R) […] podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];
5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia najmniejszej odległości, na jaką Syzyf zbliży się do
wierzchołka góry, i poprawna metoda wyznaczenia największej wartości prędkości,
z jaką wtaczany jest kamień, wraz z poprawnymi wynikami liczbowymi.
3 pkt - zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia i wyznaczenie ekstremów
funkcji 𝑥′.
2 pkt - zbadanie monotoniczności funkcji 𝑥 i wyznaczenie ekstremów funkcji 𝑥.
1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑥.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Najpierw wyznaczymy najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry.
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑥:
𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla
𝑡∈[0, 24]
i obliczamy jej miejsca zerowe:
𝑥′(𝑡) = 0
-3𝑡2 + 33𝑡+ 180 = 0
𝑡2 -11𝑡-60 = 0
Δ = 361
𝑡1 = 15 𝑡2 < 0
Ponieważ:
𝑥′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈[0,15)
𝑥′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈(15, 24]
więc
funkcja 𝑥 jest rosnąca w przedziale [0, 15]
funkcja 𝑥 jest malejąca w przedziale [15, 24].
Zatem funkcja 𝑥 przyjmuje wartość największą dla argumentu 15 i 𝑥(15) = 3037,5.
Najmniejsza odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, jest równa
4000 -3037,5 = 962,5 metrów.
Obliczamy największą wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
33
Niech v oznacza prędkość Syzyfa wtaczającego kulę.
Ponieważ v = 𝑥′ , więc
v(𝑡) = 𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla
𝑡∈[0, 24]
Korzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy największą wartość prędkości,
z jaką Syzyf wtacza kulę:
𝑝= -𝑏
2𝑎= -
33
2 ⋅(-3) = 11
2 ∈[0, 24]
𝑣(11
2 ) > 0
Zatem największa wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę pod górę, jest równa
v(5,5) = 270,75 m/h.
Prędkość jest pochodną położenia: v(t) = x'(t) = -3t² + 33t + 180 dla t∈[0,24]. Miejsca zerowe pochodnej: -3t² + 33t + 180 = 0, czyli t² - 11t - 60 = 0, skąd t = 15 (drugi pierwiastek jest ujemny). Dla t∈[0,15) jest x'(t) > 0, a dla t∈(15,24] jest x'(t) < 0, więc x rośnie do t = 15 i maleje po t = 15. Największe zbliżenie do szczytu: x(15) = -15³ + 16,5·15² + 180·15 = -3375 + 3712,5 + 2700 = 3037,5 m. Start w chwili t = 0 odbywa się w odległości 4 km = 4000 m od szczytu, więc najmniejsza odległość wynosi 4000 - 3037,5 = 962,5 m. Największa prędkość pod górę to największa wartość v(t) = -3t² + 33t + 180; parabola ma wierzchołek dla t = 33/6 = 5,5 ∈ [0,24], a v(5,5) = -3·30,25 + 33·5,5 + 180 = -90,75 + 181,5 + 180 = 270,75 m/h. Odpowiedź: najmniejsza odległość 962,5 m, największa prędkość 270,75 m/h.
"}]}