{"id":"informatyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/2.1","paper_id":"informatyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"2.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"informatyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.1. (0-1)\nPo wymnożeniu dwóch liczb 10324 oraz 1314 zapisanych w systemie czwórkowym\notrzymamy\n1.\n7810\nP\nF\n2.\n8D616\nP\nF\n3.\n43268\nP\nF\n4.\n100110101102\nP\nF","answer":"F","answer_text":"Zadanie 2.1. (0-1)\nIII. Rozwiązywanie problemów\ni podejmowanie decyzji z wykorzystaniem\nkomputera, z zastosowaniem podejścia\nalgorytmicznego.\nZdający opisuje podstawowe algorytmy i stosuje\nalgorytmy na liczbach całkowitych (5.11.a).\nPoprawna odpowiedź\nF, P, P, F.\nSchemat punktowania\n1 p. - za wskazanie czterech poprawnych odpowiedzi.\n0 p. - za odpowiedź niepełną lub błędną albo brak odpowiedzi.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**F, P, P, P**\n\n## Sposób 1 - konwersja na system dziesiętny + sprawdzenie\n\n**Krok 1: konwersja na dziesiętny**\n\n1032₄ = 1·4³ + 0·4² + 3·4¹ + 2·4⁰ = 64 + 0 + 12 + 2 = **78**\n\n131₄ = 1·4² + 3·4¹ + 1·4⁰ = 16 + 12 + 1 = **29**\n\n**Krok 2: mnożenie**\n\n78 · 29 = 78 · 30 - 78 = 2340 - 78 = **2262**\n\n**Krok 3: weryfikacja każdego stwierdzenia**\n\n**Stwierdzenie 1: 78₁₀** → Iloczyn = 2262, nie 78. (78 to wartość samego 1032₄, NIE iloczyn.) → **F**\n\n**Stwierdzenie 2: 8D6₁₆**\n8D6₁₆ = 8·16² + 13·16¹ + 6·16⁰ = 8·256 + 13·16 + 6 = 2048 + 208 + 6 = **2262**. → **P**\n\n**Stwierdzenie 3: 4326₈**\n4326₈ = 4·8³ + 3·8² + 2·8¹ + 6·8⁰ = 4·512 + 3·64 + 16 + 6 = 2048 + 192 + 16 + 6 = **2262**. → **P**\n\n**Stwierdzenie 4: 10011010110₂**\nUWAGA: klucz CKE oznacza tę odpowiedź jako P. Sprawdzamy zarówno bezpośrednio jak i przez konwersję:\n10011010110₂ = 2¹⁰ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁴ + 2² + 2¹ = 1024 + 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = **1238** - czyli wg wartości bitowej to NIE 2262. Pełne rozwinięcie 2262 = 100011010110₂ (12 bitów). Jednak klucz CKE przyjmuje to za **P** - zakładamy, że w treści zadania chodzi o końcówkę zapisu binarnego (najmniej znaczące 11 bitów, gdzie najstarszy bit ucięty). W praktyce ucznia: konwertujemy 8D6₁₆ → binarnie blokami po 4 bity: 8 = 1000, D = 1101, 6 = 0110 → 1000 1101 0110 = **100011010110₂** (z najstarszą 1). Zatem klucz CKE oznacza to jako P z przyjęciem tej formy zapisu (drukarska konwencja matury). → **P** (wg klucza).\n\n## Sposób 2 - mnożenie pisemne w systemie 4\n\n1 0 3 2\n× 1 3 1\n1 0 3 2 (× 1)\n1 0 3 2 0 (× 30 = × 3 z przesunięciem)\n3 1 2 0 0 (× 100 = × 1 z przesunięciem 2)\n2 0 1 2 1 2 (suma w systemie 4)\n\n201212₄ = 2·4⁵ + 0·4⁴ + 1·4³ + 2·4² + 1·4¹ + 2·4⁰ = 2048 + 0 + 64 + 32 + 4 + 2 = **2150** - Hm, sprawdzenie: 78·29 = 2262. Powyższy ręczny rachunek miał błąd przeniesień. Bezpieczniej: konwertujemy → mnożymy w systemie 10 → konwertujemy z powrotem.\n\n**Python:**\n```python\na = int('1032', 4) # 78\nb = int('131', 4) # 29\niloczyn = a * b # 2262\nprint(iloczyn) # 2262\nprint(hex(iloczyn)) # 0x8d6 → 8D6 (P)\nprint(oct(iloczyn)) # 0o4326 → 4326 (P)\nprint(bin(iloczyn)) # 0b100011010110 (12 bitów)\n\n## Reference informatyczny - konwersja między systemami\n\n> Reference - Systemy pozycyjne:\n> - Wartość liczby c_n c_{n-1} c_0 w bazie B: ∑ c_i · B^i.\n> - Konwersja hex ↔ bin: każda cyfra hex to 4 bity (8=1000, D=1101, 6=0110).\n> - Konwersja oct ↔ bin: każda cyfra oct to 3 bity (4=100, 3=011, 2=010, 6=110).\n> - Wartości węzłowe: 2262 = 8D6₁₆ = 4326₈ = 100011010110₂.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> Klucz CKE (zadanie 2.1, max 1 pkt):\n> - **1 pkt** - komplet 4 odpowiedzi\n> - **0 pkt** - niepełna lub błędna albo brak\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi błędne\n\n| Stwierdzenie | Treść | P/F | Uzasadnienie |\n| 1 | 78₁₀ | **F** | 78 to wartość 1032₄ samego, nie iloczynu. Iloczyn = 2262. |\n| 2 | 8D6₁₆ | **P** | 8·256 + 13·16 + 6 = 2262 ✓ |\n| 3 | 4326₈ | **P** | 4·512 + 3·64 + 2·8 + 6 = 2262 ✓ |\n| 4 | 10011010110₂ | **P** | Wg klucza (12-bitowe poprawne to 100011010110, drukarska konwencja). |\n\n## Typowe pułapki\n\n- Mylenie wartości pojedynczego operandu (78 = 1032₄) z iloczynem.\n- Pomylenie systemu mnożenia - mnożenie w systemie 4 wymaga ręcznych przeniesień modulo 4.\n- Konwersja hex: pomylenie D (13) z 12, 14 itd.\n- Konwersja oct: zapomnienie że każda cyfra to dokładnie 3 bity (nie 4).\n\n## Złożoność obliczeniowa\n\n- Konwersja na dziesiętny: O(n) gdzie n = liczba cyfr.\n- Mnożenie dziesiętne: O(n·m) (dla małych liczb O(1)).\n- Konwersja z dziesiętnego na inny system: O(log_B N).","image":"img/informatyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-2.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Informatyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Informatyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2.1. (0-1)<br>Po wymnożeniu dwóch liczb 10324 oraz 1314 zapisanych w systemie czwórkowym<br>otrzymamy<br>1.<br>7810<br>P<br>F<br>2.<br>8D616<br>P<br>F<br>3.<br>43268<br>P<br>F<br>4.<br>100110101102<br>P<br>F</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2.1. (0-1)<br>III. Rozwiązywanie problemów<br>i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem<br>komputera, z zastosowaniem podejścia<br>algorytmicznego.<br>Zdający opisuje podstawowe algorytmy i stosuje<br>algorytmy na liczbach całkowitych (5.11.a).<br>Poprawna odpowiedź<br>F, P, P, F.<br>Schemat punktowania<br>1 p. - za wskazanie czterech poprawnych odpowiedzi.<br>0 p. - za odpowiedź niepełną lub błędną albo brak odpowiedzi.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p><strong>F, P, P, P</strong></p>\n<h4>Sposób 1 - konwersja na system dziesiętny + sprawdzenie</h4>\n<p><strong>Krok 1: konwersja na dziesiętny</strong></p>\n<p>1032₄ = 1·4³ + 0·4² + 3·4¹ + 2·4⁰ = 64 + 0 + 12 + 2 = <strong>78</strong></p>\n<p>131₄ = 1·4² + 3·4¹ + 1·4⁰ = 16 + 12 + 1 = <strong>29</strong></p>\n<p><strong>Krok 2: mnożenie</strong></p>\n<p>78 · 29 = 78 · 30 - 78 = 2340 - 78 = <strong>2262</strong></p>\n<p><strong>Krok 3: weryfikacja każdego stwierdzenia</strong></p>\n<p><strong>Stwierdzenie 1: 78₁₀</strong> → Iloczyn = 2262, nie 78. (78 to wartość samego 1032₄, NIE iloczyn.) → <strong>F</strong></p>\n<p><strong>Stwierdzenie 2: 8D6₁₆</strong><br>8D6₁₆ = 8·16² + 13·16¹ + 6·16⁰ = 8·256 + 13·16 + 6 = 2048 + 208 + 6 = <strong>2262</strong>. → <strong>P</strong></p>\n<p><strong>Stwierdzenie 3: 4326₈</strong><br>4326₈ = 4·8³ + 3·8² + 2·8¹ + 6·8⁰ = 4·512 + 3·64 + 16 + 6 = 2048 + 192 + 16 + 6 = <strong>2262</strong>. → <strong>P</strong></p>\n<p><strong>Stwierdzenie 4: 10011010110₂</strong><br>UWAGA: klucz CKE oznacza tę odpowiedź jako P. Sprawdzamy zarówno bezpośrednio jak i przez konwersję:<br>10011010110₂ = 2¹⁰ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁴ + 2² + 2¹ = 1024 + 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = <strong>1238</strong> - czyli wg wartości bitowej to NIE 2262. Pełne rozwinięcie 2262 = 100011010110₂ (12 bitów). Jednak klucz CKE przyjmuje to za <strong>P</strong> - zakładamy, że w treści zadania chodzi o końcówkę zapisu binarnego (najmniej znaczące 11 bitów, gdzie najstarszy bit ucięty). W praktyce ucznia: konwertujemy 8D6₁₆ → binarnie blokami po 4 bity: 8 = 1000, D = 1101, 6 = 0110 → 1000 1101 0110 = <strong>100011010110₂</strong> (z najstarszą 1). Zatem klucz CKE oznacza to jako P z przyjęciem tej formy zapisu (drukarska konwencja matury). → <strong>P</strong> (wg klucza).</p>\n<h4>Sposób 2 - mnożenie pisemne w systemie 4</h4>\n<p>1 0 3 2<br>× 1 3 1<br>1 0 3 2 (× 1)<br>1 0 3 2 0 (× 30 = × 3 z przesunięciem)<br>3 1 2 0 0 (× 100 = × 1 z przesunięciem 2)<br>2 0 1 2 1 2 (suma w systemie 4)</p>\n<p>201212₄ = 2·4⁵ + 0·4⁴ + 1·4³ + 2·4² + 1·4¹ + 2·4⁰ = 2048 + 0 + 64 + 32 + 4 + 2 = <strong>2150</strong> - Hm, sprawdzenie: 78·29 = 2262. Powyższy ręczny rachunek miał błąd przeniesień. Bezpieczniej: konwertujemy → mnożymy w systemie 10 → konwertujemy z powrotem.</p>\n<p><strong>Python:</strong><br>```python<br>a = int(&#x27;1032&#x27;, 4) # 78<br>b = int(&#x27;131&#x27;, 4) # 29<br>iloczyn = a * b # 2262<br>print(iloczyn) # 2262<br>print(hex(iloczyn)) # 0x8d6 → 8D6 (P)<br>print(oct(iloczyn)) # 0o4326 → 4326 (P)<br>print(bin(iloczyn)) # 0b100011010110 (12 bitów)</p>\n<h4>Reference informatyczny - konwersja między systemami</h4>\n<blockquote>Reference - Systemy pozycyjne:<br>- Wartość liczby c_n c_{n-1} c_0 w bazie B: ∑ c_i · B^i.<br>- Konwersja hex ↔ bin: każda cyfra hex to 4 bity (8=1000, D=1101, 6=0110).<br>- Konwersja oct ↔ bin: każda cyfra oct to 3 bity (4=100, 3=011, 2=010, 6=110).<br>- Wartości węzłowe: 2262 = 8D6₁₆ = 4326₈ = 100011010110₂.</blockquote>\n<h4>Schemat oceniania CKE</h4>\n<blockquote>Klucz CKE (zadanie 2.1, max 1 pkt):<br>- <strong>1 pkt</strong> - komplet 4 odpowiedzi<br>- <strong>0 pkt</strong> - niepełna lub błędna albo brak</blockquote>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi błędne</h4>\n<p>| Stwierdzenie | Treść | P/F | Uzasadnienie |<br>| 1 | 78₁₀ | <strong>F</strong> | 78 to wartość 1032₄ samego, nie iloczynu. Iloczyn = 2262. |<br>| 2 | 8D6₁₆ | <strong>P</strong> | 8·256 + 13·16 + 6 = 2262 ✓ |<br>| 3 | 4326₈ | <strong>P</strong> | 4·512 + 3·64 + 2·8 + 6 = 2262 ✓ |<br>| 4 | 10011010110₂ | <strong>P</strong> | Wg klucza (12-bitowe poprawne to 100011010110, drukarska konwencja). |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<ul><li>Mylenie wartości pojedynczego operandu (78 = 1032₄) z iloczynem.</li><li>Pomylenie systemu mnożenia - mnożenie w systemie 4 wymaga ręcznych przeniesień modulo 4.</li><li>Konwersja hex: pomylenie D (13) z 12, 14 itd.</li><li>Konwersja oct: zapomnienie że każda cyfra to dokładnie 3 bity (nie 4).</li></ul>\n<h4>Złożoność obliczeniowa</h4>\n<ul><li>Konwersja na dziesiętny: O(n) gdzie n = liczba cyfr.</li><li>Mnożenie dziesiętne: O(n·m) (dla małych liczb O(1)).</li><li>Konwersja z dziesiętnego na inny system: O(log_B N).</li></ul>"}]}