{"id":"informatyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/4.3","paper_id":"informatyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"4.3","points":5,"ptype":"open","subject":"informatyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Kontekst - patrz zadanie 4.1.\n\nBłąd bezwzględny przybliżonej wartości liczby pi, wyznaczonej z n punktów: εn = |π - pin|.\n\nOblicz εn dla n = 1, 2, 3, …, 1700. Na podstawie powyższego zestawienia utwórz wykres liniowy ilustrujący zmiany dokładności wyznaczanej liczby pi. Zadbaj o czytelność wykresu.\n\nWartości dla ε1000 oraz ε1700 (zaokrąglone do czterech miejsc po przecinku) zapisz do pliku wyniki_4.txt.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**ε₁₀₀₀ = 0,0864**\n\n**ε₁₇₀₀ = 0,0184**\n\nWykres liniowy: oś X = n (1 1700), oś Y = εn. Charakter: szybki spadek na początku, malejąca obwiednia jak ~1/√n, drobne oscylacje. Tytuł: \"Błąd bezwzględny przybliżenia liczby π metodą Monte Carlo\". Osie: \"liczba punktów n\" / \"błąd bezwzględny εn\".\n\n## Sposób 1 - wzór i implementacja Python\n\n**Wzór:**\n- `pi_n = 4 · nk_n / n`, gdzie nk_n = liczba punktów w kole wśród pierwszych n.\n- `εn = |π - pi_n|`.\n\n```python\nimport math\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\npunkty = []\nwith open('punkty.txt') as f:\nfor linia in f:\ncz = linia.strip().split()\nif len(cz) == 2:\npunkty.append((int(cz[0]), int(cz[1])))\n\nnk_cumulative = 0\nbledy = []\nfor i in range(1, 1701):\nx, y = punkty[i - 1]\nd2 = (x - 200) ** 2 + (y - 200) ** 2\nif d2 <= 40000:\nnk_cumulative += 1\npi_n = 4 * nk_cumulative / i\nepsilon = abs(math.pi - pi_n)\nbledy.append(epsilon)\n\nprint(f\"ε1000 = {bledy[999]:.4f}\") # 0.0864\nprint(f\"ε1700 = {bledy[1699]:.4f}\") # 0.0184\n\n# Zapis do pliku\nwith open('wyniki_4.txt', 'w') as f:\nf.write(f\"4.3\\n\")\nf.write(f\"ε1000 = {bledy[999]:.4f}\\n\")\nf.write(f\"ε1700 = {bledy[1699]:.4f}\\n\")\n\n# Wykres\nplt.figure(figsize=(12, 5))\nplt.plot(range(1, 1701), bledy, linewidth=0.7)\nplt.title('Błąd bezwzględny przybliżenia liczby π metodą Monte Carlo')\nplt.xlabel('liczba punktów n')\nplt.ylabel('błąd bezwzględny εn = |π - πn|')\nplt.grid(True, alpha=0.3)\nplt.savefig('wykres_blad_pi.png', dpi=120)\n\n## Sposób 2 - arkusz kalkulacyjny\n\n**Konstrukcja:**\n1. Kolumny A, B: x, y (1700 wierszy z pliku punkty.txt).\n2. Kolumna C: `=(A1-200)^2+(B1-200)^2`.\n3. Kolumna D: `=JEŻELI(C1<=40000;1;0)`.\n4. Kolumna E: kumulatywna suma - E1: `=D1`; E2: `=E1+D2`; przeciągnąć w dół.\n5. Kolumna F: `=4*E1/WIERSZ()`.\n6. Kolumna G: `=ABS(PI()-F1)`.\n7. ε1000 = G1000 = **0,0864**; ε1700 = G1700 = **0,0184**.\n8. Wykres: zaznacz zakres G1:G1700, Wstaw → wykres liniowy.\n9. Tytuł wykresu, opisy osi (n, εn).\n\n## Sposób 3 - pseudokod\n\nwczytaj punkty[1 10000] z pliku\nnk ← 0\notwórz wyniki_4.txt do zapisu\ndla i = 1 do 1700 wykonuj:\n(x, y) ← punkty[i]\nd2 ← (x-200)*(x-200) + (y-200)*(y-200)\njeżeli d2 ≤ 40000:\nnk ← nk + 1\npi_n ← 4 * nk / i\neps[i] ← |π - pi_n|\nzapisz \"ε1000 = \" + zaokrąglij(eps[1000], 4) do pliku\nzapisz \"ε1700 = \" + zaokrąglij(eps[1700], 4) do pliku\nzrób wykres liniowy z (i, eps[i]) dla i=1 1700\n\n## Reference informatyczny - Monte Carlo, dokładność\n\n> Reference - Konwergencja metody Monte Carlo:\n> - **Twierdzenie graniczne**: błąd estymatora maleje proporcjonalnie do `1/√n`.\n> - Dla π: błąd ε ≈ 1.642/√n (dla losowego rozkładu w kwadracie).\n> - **n = 100** → ε ≈ 0,16 (ale w zadaniu konkretnie 0,0584 dla danych - punkty nie są idealnie losowe).\n> - **n = 10000** → ε ≈ 0,016.\n> - Krzywa błędu **oscyluje, ale obwiednia maleje** monotonicznie.\n>\n> Reference - Wykresy w matplotlib / Excel:\n> - **Wykres liniowy**: gdy chcemy pokazać trend / przebieg czasowy.\n> - **Kolumnowy**: porównanie kategorii.\n> - **Punktowy (scatter)**: zależność między dwoma zmiennymi.\n> - Tytuł + opis osi = obowiązkowe dla CKE (1 punkt za czytelność).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> Klucz CKE (zadanie 4.3, max 5 pkt):\n> - **3 pkt** za prawidłowe wartości ε:\n> - 1 pkt - wartość ε1000 = 0,0864\n> - 1 pkt - wartość ε1700 = 0,0184\n> - 1 pkt - odpowiednia dokładność (4 miejsca po przecinku)\n> - **1 pkt** - prawidłowy zakres danych i typ wykresu (liniowy)\n> - **1 pkt** - czytelny opis wykresu (tytuł + osie)\n> - **0 pkt** - odpowiedź błędna\n\n## Typowe pułapki\n\n- **Niesumowanie kumulatywne** - niektórzy uczniowie liczą tylko `nk_n` od i-tego punktu, a nie od 1. Wynik byłby chaotyczny.\n- **Pomylenie ε z pi** - zapisanie 3,228 zamiast 0,0864 (różnica między π a 3,228).\n- **Wykres bez tytułu/opisu osi** - strata 1 pkt.\n- **Wykres kolumnowy zamiast liniowego** - strata 1 pkt. Liniowy lepiej oddaje ciągłą zmianę.\n- **Niepoprawna dokładność** - 0,09 lub 0,0863 zamiast 0,0864 (3 vs 4 miejsca po przecinku, zaokrąglenie).\n- **Off-by-one** - czy ε1000 to błąd po 1000 punktach (włącznie z 1000-nym), czy 999-nym? Treść: \"εn dla n=1, 2, , 1700\" oznacza pierwszych n punktów, czyli n włącznie.\n\n## Złożoność obliczeniowa\n\n- Wczytanie 10000 punktów: O(N).\n- Obliczenie 1700 wartości εn: O(1700) z kumulatywną sumą.\n- Wykres: O(1700) renderowanych punktów.\n- **Łącznie: O(N) ≈ 10⁴ operacji.**","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Informatyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Informatyka","category_label":"Matura","text_html":"

Kontekst - patrz zadanie 4.1.

\n

Błąd bezwzględny przybliżonej wartości liczby pi, wyznaczonej z n punktów: εn = |π - pin|.

\n

Oblicz εn dla n = 1, 2, 3, …, 1700. Na podstawie powyższego zestawienia utwórz wykres liniowy ilustrujący zmiany dokładności wyznaczanej liczby pi. Zadbaj o czytelność wykresu.

\n

Wartości dla ε1000 oraz ε1700 (zaokrąglone do czterech miejsc po przecinku) zapisz do pliku wyniki_4.txt.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

ε₁₀₀₀ = 0,0864

\n

ε₁₇₀₀ = 0,0184

\n

Wykres liniowy: oś X = n (1 1700), oś Y = εn. Charakter: szybki spadek na początku, malejąca obwiednia jak ~1/√n, drobne oscylacje. Tytuł: "Błąd bezwzględny przybliżenia liczby π metodą Monte Carlo". Osie: "liczba punktów n" / "błąd bezwzględny εn".

\n

Sposób 1 - wzór i implementacja Python

\n

Wzór:

\n\n

```python
import math
import matplotlib.pyplot as plt

\n

punkty = []
with open('punkty.txt') as f:
for linia in f:
cz = linia.strip().split()
if len(cz) == 2:
punkty.append((int(cz[0]), int(cz[1])))

\n

nk_cumulative = 0
bledy = []
for i in range(1, 1701):
x, y = punkty[i - 1]
d2 = (x - 200) 2 + (y - 200) 2
if d2 <= 40000:
nk_cumulative += 1
pi_n = 4 * nk_cumulative / i
epsilon = abs(math.pi - pi_n)
bledy.append(epsilon)

\n

print(f"ε1000 = {bledy[999]:.4f}") # 0.0864
print(f"ε1700 = {bledy[1699]:.4f}") # 0.0184

\n

Zapis do pliku

\n

with open('wyniki_4.txt', 'w') as f:
f.write(f"4.3\\n")
f.write(f"ε1000 = {bledy[999]:.4f}\\n")
f.write(f"ε1700 = {bledy[1699]:.4f}\\n")

\n

Wykres

\n

plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.plot(range(1, 1701), bledy, linewidth=0.7)
plt.title('Błąd bezwzględny przybliżenia liczby π metodą Monte Carlo')
plt.xlabel('liczba punktów n')
plt.ylabel('błąd bezwzględny εn = |π - πn|')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.savefig('wykres_blad_pi.png', dpi=120)

\n

Sposób 2 - arkusz kalkulacyjny

\n

Konstrukcja:

\n
  1. Kolumny A, B: x, y (1700 wierszy z pliku punkty.txt).
  2. Kolumna C: =(A1-200)^2+(B1-200)^2.
  3. Kolumna D: =JEŻELI(C1<=40000;1;0).
  4. Kolumna E: kumulatywna suma - E1: =D1; E2: =E1+D2; przeciągnąć w dół.
  5. Kolumna F: =4*E1/WIERSZ().
  6. Kolumna G: =ABS(PI()-F1).
  7. ε1000 = G1000 = 0,0864; ε1700 = G1700 = 0,0184.
  8. Wykres: zaznacz zakres G1:G1700, Wstaw → wykres liniowy.
  9. Tytuł wykresu, opisy osi (n, εn).
\n

Sposób 3 - pseudokod

\n

wczytaj punkty[1 10000] z pliku
nk ← 0
otwórz wyniki_4.txt do zapisu
dla i = 1 do 1700 wykonuj:
(x, y) ← punkty[i]
d2 ← (x-200)(x-200) + (y-200)(y-200)
jeżeli d2 ≤ 40000:
nk ← nk + 1
pi_n ← 4 * nk / i
eps[i] ← |π - pi_n|
zapisz "ε1000 = " + zaokrąglij(eps[1000], 4) do pliku
zapisz "ε1700 = " + zaokrąglij(eps[1700], 4) do pliku
zrób wykres liniowy z (i, eps[i]) dla i=1 1700

\n

Reference informatyczny - Monte Carlo, dokładność

\n
Reference - Konwergencja metody Monte Carlo:
- Twierdzenie graniczne: błąd estymatora maleje proporcjonalnie do 1/√n.
- Dla π: błąd ε ≈ 1.642/√n (dla losowego rozkładu w kwadracie).
- n = 100 → ε ≈ 0,16 (ale w zadaniu konkretnie 0,0584 dla danych - punkty nie są idealnie losowe).
- n = 10000 → ε ≈ 0,016.
- Krzywa błędu oscyluje, ale obwiednia maleje monotonicznie.

Reference - Wykresy w matplotlib / Excel:
- Wykres liniowy: gdy chcemy pokazać trend / przebieg czasowy.
- Kolumnowy: porównanie kategorii.
- Punktowy (scatter): zależność między dwoma zmiennymi.
- Tytuł + opis osi = obowiązkowe dla CKE (1 punkt za czytelność).
\n

Schemat oceniania CKE

\n
Klucz CKE (zadanie 4.3, max 5 pkt):
- 3 pkt za prawidłowe wartości ε:
- 1 pkt - wartość ε1000 = 0,0864
- 1 pkt - wartość ε1700 = 0,0184
- 1 pkt - odpowiednia dokładność (4 miejsca po przecinku)
- 1 pkt - prawidłowy zakres danych i typ wykresu (liniowy)
- 1 pkt - czytelny opis wykresu (tytuł + osie)
- 0 pkt - odpowiedź błędna
\n

Typowe pułapki

\n\n

Złożoność obliczeniowa

\n"}]}