{"id":"informatyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3.2","paper_id":"informatyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"informatyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.2. (0-1)\nPo pomnożeniu dwóch liczb 11111102 oraz 1012 zapisanych w systemie dwójkowym\notrzymamy:\n1.\n213124\nP\nF\n2.\n10010101102\nP\nF\n3.\n11668\nP\nF\n4.\n27616\nP\nF\nMiejsce na obliczenia","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Bezpieczne posługiwanie się komputerem\ni jego oprogramowaniem, wykorzystanie\nsieci komputerowej; komunikowanie się za\npomocą komputera i technologii\ninformacyjno-komunikacyjnych.\n1. Posługiwanie się komputerem i jego\noprogramowaniem, korzystanie z sieci\nkomputerowej.\nZdający:\n1) przedstawia sposoby reprezentowania\nróżnych form informacji w komputerze:\nliczb, znaków, obrazów, animacji,\ndźwięków.\nSchemat punktowania\n1 p. - za wskazanie czterech poprawnych odpowiedzi.\n0 p. - za odpowiedź niepełną lub błędną albo za brak odpowiedzi.\nPoprawna odpowiedź\nP, F, P, P","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**P, F, P, P**\n\n## Sposób 1 - obliczenie iloczynu i konwersje\n\n**Krok 1: zamień liczby binarne na dziesiętne.**\n\n`1111110₂` = 1·64 + 1·32 + 1·16 + 1·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 64+32+16+8+4+2 = **126**\n\n`101₂` = 1·4 + 0·2 + 1·1 = **5**\n\n**Krok 2: oblicz iloczyn dziesiętnie.**\n\n126 · 5 = **630**\n\n**Krok 3: konwersja 630 na różne systemy.**\n\n### Na system czwórkowy (Stwierdzenie 1: 21312₄?)\n\n630 : 4 = 157 r 2\n157 : 4 = 39 r 1\n39 : 4 = 9 r 3\n9 : 4 = 2 r 1\n2 : 4 = 0 r 2\nCzytane od dołu: **21312₄** ✓\n\n**Weryfikacja:** 2·256 + 1·64 + 3·16 + 1·4 + 2 = 512 + 64 + 48 + 4 + 2 = 630 ✓\n\n**Werdykt 1: PRAWDA** ✓\n\n### Na system binarny (Stwierdzenie 2: 1001010110₂?)\n\n630 : 2 = 315 r 0\n315 : 2 = 157 r 1\n157 : 2 = 78 r 1\n78 : 2 = 39 r 0\n39 : 2 = 19 r 1\n19 : 2 = 9 r 1\n9 : 2 = 4 r 1\n4 : 2 = 2 r 0\n2 : 2 = 1 r 0\n1 : 2 = 0 r 1\nCzytane od dołu: **1001110110₂**\n\nW stwierdzeniu jest 1001010110₂, czyli ma 0 zamiast 1 na pozycji bitu 6 (= wartości 64). Sprawdzimy: 1001010110₂ = 512 + 64 + 16 + 4 + 2 = 598 ≠ 630.\n\n**Werdykt 2: FAŁSZ** ✗\n\n### Na system ósemkowy (Stwierdzenie 3: 1166₈?)\n\n630 : 8 = 78 r 6\n78 : 8 = 9 r 6\n9 : 8 = 1 r 1\n1 : 8 = 0 r 1\nCzytane od dołu: **1166₈** ✓\n\n**Weryfikacja:** 1·512 + 1·64 + 6·8 + 6·1 = 512 + 64 + 48 + 6 = 630 ✓\n\n**Werdykt 3: PRAWDA** ✓\n\n### Na system szesnastkowy (Stwierdzenie 4: 276₁₆?)\n\n630 : 16 = 39 r 6\n39 : 16 = 2 r 7\n2 : 16 = 0 r 2\nCzytane od dołu: **276₁₆** ✓\n\n**Weryfikacja:** 2·256 + 7·16 + 6 = 512 + 112 + 6 = 630 ✓\n\n**Werdykt 4: PRAWDA** ✓\n\n## Sposób 2 - mnożenie binarne (bez konwersji na dziesiętny)\n\n1111110\n× 101\n1111110 (× 1, bit 0)\n0000000 (× 0, bit 1) - zerowy\n1111110 (× 1, bit 2, przesunięcie o 2)\n1001110110\n\nDodawanie binarne (z przeniesieniami):\n0001111110\n+ 0000000000\n+ 0111111000\n1001110110₂\n\nTo nasze prawdziwe binarne **1001110110₂**, NIE \"1001010110\" - różnica w bicie nr 6 (wartość 64).\n\n## Sposób 3 - weryfikacja Pythonem\n\n```python\nn = 0b1111110 * 0b101\nprint(n) # 630\nprint(bin(n)) # 0b1001110110\nprint(oct(n)) # 0o1166\nprint(hex(n)) # 0x276\nprint(int('21312', 4)) # 630 - czwórkowy\n\n## Reference informatyczny - konwersje między systemami liczbowymi\n\n> Reference - Konwersje:\n> - **Bin → Dec:** suma bitów·potęg 2 od najmłodszego.\n> - **Dec → Bin:** dzielenie z resztą przez 2, czyt. od dołu.\n> - **Dec → Hex:** dzielenie z resztą przez 16. Cyfry 10=A, 11=B, , 15=F.\n> - **Dec → Oct:** dzielenie z resztą przez 8.\n> - **Bin → Hex:** grupuj po 4 bity od końca: 1001110110 → 0010|0111|0110 = 2|7|6 = 276₁₆.\n> - **Bin → Oct:** grupuj po 3 bity od końca: 1|001|110|110 = 1|1|6|6 = 1166₈.\n> - **Bin ↔ Czwórkowy:** grupuj po 2 bity: 10|01|11|01|10 = 2|1|3|1|2 = 21312₄.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> Klucz CKE (zadanie 3.2, max 1 pkt):\n> - **1 pkt** - wszystkie 4 odpowiedzi (P, F, P, P)\n> - **0 pkt** - błędna lub niepełna\n\n## Dlaczego inne opcje błędne - analiza\n\n| Stw. | Wartość | Wynik 1·obliczenia | Werdykt |\n| 1 | 21312₄ | 21312₄ = 2·256+64+48+4+2 = 630 ✓ | P |\n| 2 | 1001010110₂ | = 512+64+16+4+2 = **598** ≠ 630 | F |\n| 3 | 1166₈ | = 512+64+48+6 = 630 ✓ | P |\n| 4 | 276₁₆ | = 512+112+6 = 630 ✓ | P |\n\n## Typowe pułapki\n\n- **Mnożenie binarne ręczne** - łatwo zgubić bit. Bezpieczniej najpierw przeliczyć na dziesiętny.\n- **Mylenie liczby cyfr przy konwersji** - 630 to 10 cyfr binarnych, 4 cyfry czwórkowe, 4 cyfry oktalne, 3 cyfry hex.\n- **Konwersja binary↔hex grupowaniem** - grupuj od PRAWEJ strony po 4 bity (uzupełnij zerami z lewej jeśli trzeba).\n- **Sprawdzenie szybkim trickiem**: suma cyfr binarnych w 1001110110 = 6 jedynek, w 1001010110 = 5 jedynek - różne.\n\n## Złożoność obliczeniowa\n\n- Konwersja liczby N z systemu o podstawie b: O(log_b N) - liczba cyfr.\n- Mnożenie binarne dwóch liczb o m i n bitach: O(m · n) algorytmem szkolnym.","image":"img/informatyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Informatyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Informatyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.2. (0-1)
Po pomnożeniu dwóch liczb 11111102 oraz 1012 zapisanych w systemie dwójkowym
otrzymamy:
1.
213124
P
F
2.
10010101102
P
F
3.
11668
P
F
4.
27616
P
F
Miejsce na obliczenia

","answer_text_html":"

Zadanie 3.2. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Bezpieczne posługiwanie się komputerem
i jego oprogramowaniem, wykorzystanie
sieci komputerowej; komunikowanie się za
pomocą komputera i technologii
informacyjno-komunikacyjnych.

\n
  1. Posługiwanie się komputerem i jego
\n

oprogramowaniem, korzystanie z sieci
komputerowej.
Zdający:

\n
  1. przedstawia sposoby reprezentowania
\n

różnych form informacji w komputerze:
liczb, znaków, obrazów, animacji,
dźwięków.
Schemat punktowania
1 p. - za wskazanie czterech poprawnych odpowiedzi.
0 p. - za odpowiedź niepełną lub błędną albo za brak odpowiedzi.
Poprawna odpowiedź
P, F, P, P

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

P, F, P, P

\n

Sposób 1 - obliczenie iloczynu i konwersje

\n

Krok 1: zamień liczby binarne na dziesiętne.

\n

1111110₂ = 1·64 + 1·32 + 1·16 + 1·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 64+32+16+8+4+2 = 126

\n

101₂ = 1·4 + 0·2 + 1·1 = 5

\n

Krok 2: oblicz iloczyn dziesiętnie.

\n

126 · 5 = 630

\n

Krok 3: konwersja 630 na różne systemy.

\n
Na system czwórkowy (Stwierdzenie 1: 21312₄?)
\n

630 : 4 = 157 r 2
157 : 4 = 39 r 1
39 : 4 = 9 r 3
9 : 4 = 2 r 1
2 : 4 = 0 r 2
Czytane od dołu: 21312₄ ✓

\n

Weryfikacja: 2·256 + 1·64 + 3·16 + 1·4 + 2 = 512 + 64 + 48 + 4 + 2 = 630 ✓

\n

Werdykt 1: PRAWDA ✓

\n
Na system binarny (Stwierdzenie 2: 1001010110₂?)
\n

630 : 2 = 315 r 0
315 : 2 = 157 r 1
157 : 2 = 78 r 1
78 : 2 = 39 r 0
39 : 2 = 19 r 1
19 : 2 = 9 r 1
9 : 2 = 4 r 1
4 : 2 = 2 r 0
2 : 2 = 1 r 0
1 : 2 = 0 r 1
Czytane od dołu: 1001110110₂

\n

W stwierdzeniu jest 1001010110₂, czyli ma 0 zamiast 1 na pozycji bitu 6 (= wartości 64). Sprawdzimy: 1001010110₂ = 512 + 64 + 16 + 4 + 2 = 598 ≠ 630.

\n

Werdykt 2: FAŁSZ ✗

\n
Na system ósemkowy (Stwierdzenie 3: 1166₈?)
\n

630 : 8 = 78 r 6
78 : 8 = 9 r 6
9 : 8 = 1 r 1
1 : 8 = 0 r 1
Czytane od dołu: 1166₈ ✓

\n

Weryfikacja: 1·512 + 1·64 + 6·8 + 6·1 = 512 + 64 + 48 + 6 = 630 ✓

\n

Werdykt 3: PRAWDA ✓

\n
Na system szesnastkowy (Stwierdzenie 4: 276₁₆?)
\n

630 : 16 = 39 r 6
39 : 16 = 2 r 7
2 : 16 = 0 r 2
Czytane od dołu: 276₁₆ ✓

\n

Weryfikacja: 2·256 + 7·16 + 6 = 512 + 112 + 6 = 630 ✓

\n

Werdykt 4: PRAWDA ✓

\n

Sposób 2 - mnożenie binarne (bez konwersji na dziesiętny)

\n

1111110
× 101
1111110 (× 1, bit 0)
0000000 (× 0, bit 1) - zerowy
1111110 (× 1, bit 2, przesunięcie o 2)
1001110110

\n

Dodawanie binarne (z przeniesieniami):
0001111110

\n\n

1001110110₂

\n

To nasze prawdziwe binarne 1001110110₂, NIE "1001010110" - różnica w bicie nr 6 (wartość 64).

\n

Sposób 3 - weryfikacja Pythonem

\n

```python
n = 0b1111110 * 0b101
print(n) # 630
print(bin(n)) # 0b1001110110
print(oct(n)) # 0o1166
print(hex(n)) # 0x276
print(int('21312', 4)) # 630 - czwórkowy

\n

Reference informatyczny - konwersje między systemami liczbowymi

\n
Reference - Konwersje:
- Bin → Dec: suma bitów·potęg 2 od najmłodszego.
- Dec → Bin: dzielenie z resztą przez 2, czyt. od dołu.
- Dec → Hex: dzielenie z resztą przez 16. Cyfry 10=A, 11=B, , 15=F.
- Dec → Oct: dzielenie z resztą przez 8.
- Bin → Hex: grupuj po 4 bity od końca: 1001110110 → 0010|0111|0110 = 2|7|6 = 276₁₆.
- Bin → Oct: grupuj po 3 bity od końca: 1|001|110|110 = 1|1|6|6 = 1166₈.
- Bin ↔ Czwórkowy: grupuj po 2 bity: 10|01|11|01|10 = 2|1|3|1|2 = 21312₄.
\n

Schemat oceniania CKE

\n
Klucz CKE (zadanie 3.2, max 1 pkt):
- 1 pkt - wszystkie 4 odpowiedzi (P, F, P, P)
- 0 pkt - błędna lub niepełna
\n

Dlaczego inne opcje błędne - analiza

\n

| Stw. | Wartość | Wynik 1·obliczenia | Werdykt |
| 1 | 21312₄ | 21312₄ = 2·256+64+48+4+2 = 630 ✓ | P |
| 2 | 1001010110₂ | = 512+64+16+4+2 = 598 ≠ 630 | F |
| 3 | 1166₈ | = 512+64+48+6 = 630 ✓ | P |
| 4 | 276₁₆ | = 512+112+6 = 630 ✓ | P |

\n

Typowe pułapki

\n\n

Złożoność obliczeniowa

\n"}]}