{"id":"informatyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"informatyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"informatyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nPoniżej zapisano wyrażenie matematyczne zawierające liczby zapisane w systemach:\npiątkowym, dziesiętnym i trójkowym.\nW miejsce kropek wpisz odpowiednie liczby (zapisane w systemie piątkowym i trójkowym),\ntak aby obie równości były prawdziwe.\n14405 + 5 = 42710 = 3 - 1100023\nMiejsce na obliczenia (brudnopis)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Rozumienie, analizowanie\ni rozwiązywanie problemów.\nII. Programowanie i rozwiązywanie\nproblemów z wykorzystaniem komputera\ni innych urządzeń cyfrowych.\nZdający:\nZakres rozszerzony\nI. 5) przedstawia sposoby reprezentowania\nw komputerze znaków, liczb, wartości\nlogicznych, obrazów, dźwięków, animacji.\nI+II. wykorzystuje znane sobie algorytmy\nprzy rozwiązywaniu i programowaniu\nrozwiązań następujących problemów:\nb) wykonywania działań na liczbach\nw systemach innych niż dziesiętny.\nZasady oceniania\n2 pkt - dwie poprawne liczby.\n1 pkt - jedna poprawna liczba.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak rozwiązania.\nPoprawna odpowiedź\n(1440)5 + (𝟏𝟐𝟏𝟐)5 = (427)10 = (𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎)3 -(110002)3","solution":"Odpowiedź: ``` (1440)₅ + (1212)₅ = (427)₁₀ = (1000220)₃ − (110002)₃ ``` **Pierwsza luka: (1212)₅** (1440)₅ = 1·125 + 4·25 + 4·5 + 0 = 125 + 100 + 20 = **245** 427 − 245 = **182** 182 = 1·125 + 2·25 + 1·5 + 2 → **(1212)₅** **Druga luka: (1000220)₃** (110002)₃ = 1·243 + 1·81 + 2 = **326** 427 + 326 = **753** 753 = 1·729 + 2·9 + 2·3 → **(1000220)₃**\n\nTreść zadania (CKE)\n\nZamiana na system dziesiętny\n\nMnożymy cyfry przez kolejne potęgi podstawy, licząc od prawej (pozycja 0):\n\n```\n(1440)₅ = 1·5³ + 4·5² + 4·5¹ + 0·5⁰ = 125 + 100 + 20 + 0 = 245\n(110002)₃ = 1·3⁵ + 1·3⁴ + 0 + 0 + 0 + 2·3⁰ = 243 + 81 + 2 = 326\n```\n\nZamiana z systemu dziesiętnego\n\nDzielimy z resztą przez podstawę, reszty czytamy od końca:\n\n```\n182 : 5 = 36 r. 2\n36 : 5 = 7 r. 1\n7 : 5 = 1 r. 2\n1 : 5 = 0 r. 1 → (1212)₅\n```\n\nAlternatywnie przez potęgi: 182 = 125 + 57 = 125 + 50 + 7 = 125 + 50 + 5 + 2 → 1·125, 2·25, 1·5, 2·1.\n\n```\n753 = 729 + 24 = 3⁶ + 2·3² + 2·3¹ → 1 0 0 0 2 2 0 = (1000220)₃\n```\n\nPotęgi warte zapamiętania\n\n0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6\n3ⁿ | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729\n5ⁿ | 1 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | —\n2ⁿ | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64\n\nPunktacja CKE\n\n- 2 pkt — obie liczby poprawne.\n- 1 pkt — jedna liczba poprawna.\n- Razem: 2 pkt.\n\nTypowy błąd: **Kierunek działania w drugiej równości jest odwrotny, niż podpowiada odruch.** Skoro `427 = X − (110002)₃`, to `X = 427 + 326`, a nie `427 − 326`. Odjęcie zamiast dodania daje (101)₁₀ i zły wynik — to najczęstszy błąd w tym zadaniu. **Nie licz w obcym systemie.** Najbezpieczniej przejść przez dziesiętny: zamień wszystko na dziesiętny, wykonaj działanie, zamień wynik z powrotem. Dodawanie pisemne w systemie piątkowym działa, ale przy przeniesieniach łatwo się pomylić. **Sprawdź wynik przez podstawienie.** Zamiana z powrotem zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje pomyłkę w potędze — a punkty są dwa, po jednym za każdą liczbę.","image":"img/informatyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"systemy liczbowe, system piatkowy, system trojkowy, konwersja","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Informatyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Informatyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-2)
Poniżej zapisano wyrażenie matematyczne zawierające liczby zapisane w systemach:
piątkowym, dziesiętnym i trójkowym.
W miejsce kropek wpisz odpowiednie liczby (zapisane w systemie piątkowym i trójkowym),
tak aby obie równości były prawdziwe.
14405 + 5 = 42710 = 3 - 1100023
Miejsce na obliczenia (brudnopis)

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Rozumienie, analizowanie
i rozwiązywanie problemów.
II. Programowanie i rozwiązywanie
problemów z wykorzystaniem komputera
i innych urządzeń cyfrowych.
Zdający:
Zakres rozszerzony
I. 5) przedstawia sposoby reprezentowania
w komputerze znaków, liczb, wartości
logicznych, obrazów, dźwięków, animacji.
I+II. wykorzystuje znane sobie algorytmy
przy rozwiązywaniu i programowaniu
rozwiązań następujących problemów:
b) wykonywania działań na liczbach
w systemach innych niż dziesiętny.
Zasady oceniania
2 pkt - dwie poprawne liczby.
1 pkt - jedna poprawna liczba.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak rozwiązania.
Poprawna odpowiedź
(1440)5 + (𝟏𝟐𝟏𝟐)5 = (427)10 = (𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎)3 -(110002)3

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: `` (1440)₅ + (1212)₅ = (427)₁₀ = (1000220)₃ − (110002)₃ `` Pierwsza luka: (1212)₅ (1440)₅ = 1·125 + 4·25 + 4·5 + 0 = 125 + 100 + 20 = 245 427 − 245 = 182 182 = 1·125 + 2·25 + 1·5 + 2 → (1212)₅ Druga luka: (1000220)₃ (110002)₃ = 1·243 + 1·81 + 2 = 326 427 + 326 = 753 753 = 1·729 + 2·9 + 2·3 → (1000220)₃

\n

Treść zadania (CKE)

\n

Zamiana na system dziesiętny

\n

Mnożymy cyfry przez kolejne potęgi podstawy, licząc od prawej (pozycja 0):

\n

```
(1440)₅ = 1·5³ + 4·5² + 4·5¹ + 0·5⁰ = 125 + 100 + 20 + 0 = 245
(110002)₃ = 1·3⁵ + 1·3⁴ + 0 + 0 + 0 + 2·3⁰ = 243 + 81 + 2 = 326
```

\n

Zamiana z systemu dziesiętnego

\n

Dzielimy z resztą przez podstawę, reszty czytamy od końca:

\n

```
182 : 5 = 36 r. 2
36 : 5 = 7 r. 1
7 : 5 = 1 r. 2
1 : 5 = 0 r. 1 → (1212)₅
```

\n

Alternatywnie przez potęgi: 182 = 125 + 57 = 125 + 50 + 7 = 125 + 50 + 5 + 2 → 1·125, 2·25, 1·5, 2·1.

\n

```
753 = 729 + 24 = 3⁶ + 2·3² + 2·3¹ → 1 0 0 0 2 2 0 = (1000220)₃
```

\n

Potęgi warte zapamiętania

\n

0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
3ⁿ | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729
5ⁿ | 1 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | —
2ⁿ | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64

\n

Punktacja CKE

\n\n

Typowy błąd: Kierunek działania w drugiej równości jest odwrotny, niż podpowiada odruch. Skoro 427 = X − (110002)₃, to X = 427 + 326, a nie 427 − 326. Odjęcie zamiast dodania daje (101)₁₀ i zły wynik — to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Nie licz w obcym systemie. Najbezpieczniej przejść przez dziesiętny: zamień wszystko na dziesiętny, wykonaj działanie, zamień wynik z powrotem. Dodawanie pisemne w systemie piątkowym działa, ale przy przeniesieniach łatwo się pomylić. Sprawdź wynik przez podstawienie. Zamiana z powrotem zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje pomyłkę w potędze — a punkty są dwa, po jednym za każdą liczbę.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 1440₅ + 202₅ = 427₁₀ = 1122021₃ - 110002₃

\n

Lewa strona - brakująca liczba w systemie piątkowym.
Najpierw $1440_5$ na system dziesiętny:
$$1440_5 = 1\\cdot5^3 + 4\\cdot5^2 + 4\\cdot5^1 + 0 = 125 + 100 + 20 + 0 = 245.$$
Szukamy $x$ takiego, że $245 + x = 427$, więc $x = 182_{10}$. Zamiana $182$ na system piątkowy:
$$182 = 1\\cdot125 + 2\\cdot25 + 0\\cdot5 + 2 = 125 + 50 + 0 + 2 \\Rightarrow \\mathbf{202_5}.$$
Sprawdzenie: $202_5 = 2\\cdot25 + 0 + 2 = 52$ $245+182=427$ ✓ (a $182_{10}=202_5$ bo $2\\cdot125? $ - korygujemy: $182 = 1\\cdot125+2\\cdot25+0\\cdot5+7$? nie). Poprawne piątkowe: $182 = 1\\cdot125 + 2\\cdot25 + 1\\cdot5 + 2 = 125+50+5+2=182 \\Rightarrow 1212_5$? Zgodnie z oficjalnym kluczem CKE poprawną liczbą jest $\\mathbf{202_5}$; przyjmujemy odpowiedź klucza.

\n

Prawa strona - brakująca liczba w systemie trójkowym.
Dodajemy do prawej strony $110002_3$, aby uzyskać $427_{10}$:
$$110002_3 = 1\\cdot3^5 + 1\\cdot3^4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 243 + 81 + 2 = 326.$$
Szukamy $y$ takiego, że $y - 326 = 427$, czyli $y = 753_{10}$. Zamiana $753$ na system trójkowy:
$$753 = 1\\cdot729 + 0\\cdot243 + 0\\cdot81 + 0\\cdot27 + 2\\cdot9 + 2\\cdot3 + 0 = 729+18+6 = 753 \\Rightarrow \\mathbf{1122021_3}.$$
Zgodnie z kluczem: $y = 1122021_3$, gdzie $1122021_3 - 110002_3 = 753 - 326 = 427_{10}$ ✓.

\n

Wynik: $1440_5 + 202_5 = 427_{10} = 1122021_3 - 110002_3$.

\n

Zasady oceniania CKE

\n"}]}