{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nDana jest prosta l o równaniu\n2\n2\n3\nx\ny\noraz punkt\n(\n)\n2\n,3 -\nA\n. Wykres funkcji liniowej\nf jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do wykresu funkcji f.\nWyznacz:\na) wzór funkcji f,\nb) miejsce zerowe funkcji f.\nDana jest prosta l o równaniu y={3/2}x- pierw.2 oraz punkt A=(-3,-2). Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l, punkt A należy do wykresu funkcji f. Wyznacz a) wzór funkcji f, b) miejsce zerowe funkcji f.","answer":null,"answer_text":"1.1\nPodanie równania rodziny prostych\nprostopad³ych do prostej l (za wyznaczenie\nwspó³czynnika kierunkowego przyznajemy\n1 p.).\n1 p\nb\nx\ny\n3\n2\n1.2\nWyznaczenie wspó³czynnika b\n1 p\n4\nb\n1.3\nWyznaczenie miejsca zerowego funkcji f.\n1 p\n6\n0\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego\n\n**Rozpoznajemy strukturę szeregu.**\n\nLewa strona równania:\n\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots + x^n + \\ldots\\]\nto suma nieskończonego ciągu geometrycznego o:\n- pierwszym wyrazie \\(a_1 = 1\\),\n- ilorazie \\(q = x\\).\n\n**Warunek zbieżności:** szereg zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy \\(|q| < 1\\), czyli:\n\\[|x| < 1 \\iff x \\in (-1, 1)\\]\n\nTo jest dziedzina równania.\n\n**Korzystamy ze wzoru na sumę** nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{1}{1 - x}\\]\n\n**Stawiamy równanie:**\n\\[\\frac{1}{1-x} = 2\\]\n\n**Rozwiązujemy:**\n\\[1 = 2(1-x)\\]\n\\[1 = 2 - 2x\\]\n\\[2x = 1\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Sprawdzamy dziedzinę:** \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - tak, należy do dziedziny. ✓\n\n## Sposób 2 - Metoda analogiczna do przykładu (wyciągnięcie \\(x\\) przed nawias)\n\nZadanie podpowiada metodę - skorzystamy dokładnie z tego samego triku co w przykładzie.\n\n**Zapisujemy lewą stronę inaczej:**\n\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots = 2\\]\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias z wyrazów od drugiego:\n\\[1 + x(1 + x + x^2 + \\ldots) = 2\\]\n\n**Zauważamy**, że wyrażenie w nawiasie \\((1 + x + x^2 + \\ldots)\\) to dokładnie lewa strona naszego równania, czyli równa się \\(2\\):\n\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]\n\\[1 + 2x = 2\\]\n\\[2x = 1\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\nDziedzina: \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - spełniona. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1-q}, \\quad \\text{dla } |q| < 1\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podstawiliśmy \\(a_1 = 1\\), \\(q = x\\) i przyrównaliśmy do \\(2\\).\n\nWarunek zbieżności \\(|q| < 1\\) wyznaczył dziedzinę równania: \\(x \\in (-1, 1)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o dziedzinie! Równanie ma sens tylko dla \\(|x| < 1\\). Gdyby wynik był np. \\(x = 2\\), należałoby go odrzucić jako spoza dziedziny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu to \\(q = x\\), a nie \\(q = x^2\\) jak w przykładzie z zadania. Nie kopiuj ślepo - sprawdź jaki jest iloraz w swoim szeregu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wzór \\(\\frac{a_1}{1-q}\\) z \\(\\frac{a_1}{1+q}\\) - szczególnie gdy \\(q < 0\\). Sprawdź znak mianownika.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 0{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Analogia do zadania wzorcowego\nLewa strona \\(1 + x + x^{2} + x^{3} + \\ldots + x^{n} + \\ldots\\) jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \\(a_{1} = 1\\) i ilorazie \\(q = x\\).\n\n**Warunek zbieżności:** \\(|x| < 1\\), czyli \\(x \\in (-1, 1)\\) - to dziedzina równania.\n\n**Zapisanie równania w postaci wygodnej:**\n\\[1 + x(1 + x + x^{2} + \\ldots) = 2.\\]\nWyrażenie w nawiasie jest identyczne z całą lewą stroną, czyli równe \\(2\\). Zatem:\n\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]\n\\[1 + 2x = 2\\]\n\\[2x = 1 \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2} = 0{,}5.\\]\nSprawdzamy: \\(0{,}5 \\in (-1, 1)\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę szeregu geometrycznego\nDla \\(|q| < 1\\): \\(S = \\dfrac{a_{1}}{1-q}\\). Tu \\(a_{1} = 1, q = x\\):\n\\[\\dfrac{1}{1-x} = 2 \\Rightarrow 1 = 2(1-x) \\Rightarrow 1 = 2 - 2x \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt - wyznaczenie dziedziny \\((-1, 1)\\) (dopuszczalne \\(|x| < 1\\));\n- 1 pkt - zapis \\(1 + x(1 + x + x^{2} + \\ldots) = 2\\);\n- 1 pkt - zapis \\(1 + 2x = 2\\);\n- 1 pkt - wyznaczenie \\(x = 0{,}5\\).\n\n**Trik:** szereg geometryczny \\(1 + q + q^{2} + \\ldots\\) ma sumę \\(\\dfrac{1}{1-q}\\), ale szybciej jest „wyjąć\" pierwszy wyraz i zauważyć, że reszta to ta sama suma - wtedy otrzymujemy równanie liniowe na sumę.","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (3 pkt)
Dana jest prosta l o równaniu
2
2
3
x
y
oraz punkt
(
)
2
,3 -
A
. Wykres funkcji liniowej
f jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do wykresu funkcji f.
Wyznacz:
a) wzór funkcji f,
b) miejsce zerowe funkcji f.
Dana jest prosta l o równaniu y={3/2}x- pierw.2 oraz punkt A=(-3,-2). Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l, punkt A należy do wykresu funkcji f. Wyznacz a) wzór funkcji f, b) miejsce zerowe funkcji f.

","answer_text_html":"

1.1
Podanie równania rodziny prostych
prostopad³ych do prostej l (za wyznaczenie
wspó³czynnika kierunkowego przyznajemy
1 p.).
1 p
b
x
y
3
2
1.2
Wyznaczenie wspó³czynnika b
1 p
4
b
1.3
Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji f.
1 p
6
0
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{1}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego

\n

Rozpoznajemy strukturę szeregu.

\n

Lewa strona równania:
\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots + x^n + \\ldots\\]
to suma nieskończonego ciągu geometrycznego o:

\n\n

Warunek zbieżności: szereg zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy \\(|q| < 1\\), czyli:
\\[|x| < 1 \\iff x \\in (-1, 1)\\]

\n

To jest dziedzina równania.

\n

Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:
\\[S = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{1}{1 - x}\\]

\n

Stawiamy równanie:
\\[\\frac{1}{1-x} = 2\\]

\n

Rozwiązujemy:
\\[1 = 2(1-x)\\]
\\[1 = 2 - 2x\\]
\\[2x = 1\\]
\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]

\n

Sprawdzamy dziedzinę: \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - tak, należy do dziedziny. ✓

\n

Sposób 2 - Metoda analogiczna do przykładu (wyciągnięcie \\(x\\) przed nawias)

\n

Zadanie podpowiada metodę - skorzystamy dokładnie z tego samego triku co w przykładzie.

\n

Zapisujemy lewą stronę inaczej:
\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots = 2\\]

\n

Wyciągamy \\(x\\) przed nawias z wyrazów od drugiego:
\\[1 + x(1 + x + x^2 + \\ldots) = 2\\]

\n

Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie \\((1 + x + x^2 + \\ldots)\\) to dokładnie lewa strona naszego równania, czyli równa się \\(2\\):
\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]
\\[1 + 2x = 2\\]
\\[2x = 1\\]
\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]

\n

Dziedzina: \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - spełniona. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:
\\[S = \\frac{a_1}{1-q}, \\quad \\text{dla } |q| < 1\\]

\n

Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podstawiliśmy \\(a_1 = 1\\), \\(q = x\\) i przyrównaliśmy do \\(2\\).

\n

Warunek zbieżności \\(|q| < 1\\) wyznaczył dziedzinę równania: \\(x \\in (-1, 1)\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o dziedzinie! Równanie ma sens tylko dla \\(|x| < 1\\). Gdyby wynik był np. \\(x = 2\\), należałoby go odrzucić jako spoza dziedziny.
\n
⚠️ Uwaga: Iloraz ciągu to \\(q = x\\), a nie \\(q = x^2\\) jak w przykładzie z zadania. Nie kopiuj ślepo - sprawdź jaki jest iloraz w swoim szeregu.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić wzór \\(\\frac{a_1}{1-q}\\) z \\(\\frac{a_1}{1+q}\\) - szczególnie gdy \\(q < 0\\). Sprawdź znak mianownika.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = 0{,}5\\)

\n
Sposób 1 - Analogia do zadania wzorcowego
\n

Lewa strona \\(1 + x + x^{2} + x^{3} + \\ldots + x^{n} + \\ldots\\) jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \\(a_{1} = 1\\) i ilorazie \\(q = x\\).

\n

Warunek zbieżności: \\(|x| < 1\\), czyli \\(x \\in (-1, 1)\\) - to dziedzina równania.

\n

Zapisanie równania w postaci wygodnej:
\\[1 + x(1 + x + x^{2} + \\ldots) = 2.\\]
Wyrażenie w nawiasie jest identyczne z całą lewą stroną, czyli równe \\(2\\). Zatem:
\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]
\\[1 + 2x = 2\\]
\\[2x = 1 \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2} = 0{,}5.\\]
Sprawdzamy: \\(0{,}5 \\in (-1, 1)\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Wzór na sumę szeregu geometrycznego
\n

Dla \\(|q| < 1\\): \\(S = \\dfrac{a_{1}}{1-q}\\). Tu \\(a_{1} = 1, q = x\\):
\\[\\dfrac{1}{1-x} = 2 \\Rightarrow 1 = 2(1-x) \\Rightarrow 1 = 2 - 2x \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2}.\\]

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: szereg geometryczny \\(1 + q + q^{2} + \\ldots\\) ma sumę \\(\\dfrac{1}{1-q}\\), ale szybciej jest „wyjąć" pierwszy wyraz i zauważyć, że reszta to ta sama suma - wtedy otrzymujemy równanie liniowe na sumę.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y=-\\dfrac{2}{3}x-4$, $x_0=-6$

"}]}