{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nDane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa\ndm\n4\ni wysokość ma długość\ndm\n18\nπ\noraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź\npodstawy ma długość\ndm.\n3\n4\nWiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt\nnachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.\n6\nArkusz I\n\n7\nArkusz I\n\n8\nArkusz I\nDane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i wysokość ma długość 18pidm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4pierwiastkow3 dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy.","answer":null,"answer_text":"10.1\nObliczenie objętości stożka\n1 p\n96\nV\ndmł\n10.2\nObliczenie pola powierzchni podstawy\nostrosłupa\n1 p\n48\nP\ndm2\n10.3\nObliczenie długości wysokości ostrosłupa 1 p\n6\nH\ndm\n10.4\nWyznaczenie jednej z funkcji\ntrygonometrycznych kąta nachylenia\nściany bocznej ostrosłupa do jego\npodstawy\n1 p\n3\ntg\nα\n10.5\nWyznaczenie kąta nachylenia ściany\nbocznej ostrosłupa do jego podstawy\n1 p\n°\n= 60\nα","solution":"## Poprawna odpowiedź: **59 losów pustych**\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie liczby losów z definicji prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Co wiemy:**\n- nagród książkowych jest dokładnie **10**\n- nagród głównych jest dokładnie **1** (zestaw płyt CD)\n- prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej: \\(P(\\text{książka}) = \\dfrac{1}{7}\\)\n\n**Krok 1 - Wyznacz całkowitą liczbę losów.**\n\nZ definicji prawdopodobieństwa klasycznego:\n\\[P(\\text{książka}) = \\frac{\\text{liczba losów z nagrodą książkową}}{\\text{wszystkie losy}} = \\frac{10}{N}\\]\n\nWiemy, że \\(P(\\text{książka}) = \\dfrac{1}{7}\\), więc:\n\\[\\frac{10}{N} = \\frac{1}{7}\\]\n\\[N = 70\\]\n\nŁącznie jest **70 losów**.\n\n**Krok 2 - Odejmij losy z nagrodami.**\n\n\\[\\text{losy puste} = N - \\text{nagroda główna} - \\text{nagrody książkowe}\\]\n\\[\\text{losy puste} = 70 - 1 - 10 = \\mathbf{59}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo losu pustego\n\n**Krok 1 - Wyznacz N tak samo jak wyżej:** \\(N = 70\\).\n\n**Krok 2 - Policz prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników i sprawdź, czy sumują się do 1.**\n\n\\[P(\\text{nagroda główna}) = \\frac{1}{70}\\]\n\\[P(\\text{nagroda książkowa}) = \\frac{10}{70} = \\frac{1}{7}\\]\n\\[P(\\text{los pusty}) = \\frac{59}{70}\\]\n\nSprawdzenie (suma musi równać się 1):\n\\[\\frac{1}{70} + \\frac{10}{70} + \\frac{59}{70} = \\frac{70}{70} = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony: **59 losów pustych**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba sprzyjających wyników, a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników.\n\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 1: zdarzenie \\(A\\) = „wylosowanie nagrody książkowej\", \\(|A| = 10\\), \\(|\\Omega| = N\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij odjąć **obu** rodzajów nagród - zarówno 10 książkowych, jak i 1 nagrody głównej. Częsty błąd to obliczenie \\(70 - 10 = 60\\) i pominięcie nagrody głównej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi o \\(\\dfrac{1}{7}\\) jako prawdopodobieństwie wygrania **nagrody książkowej** - nie nagrody w ogóle. Gdybyś wziął \\(\\dfrac{1}{7}\\) za prawdopodobieństwo **jakiejkolwiek** nagrody, dostałbyś złą liczbę losów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawdopodobieństwo klasyczne zakłada, że **każdy los jest jednakowo możliwy do wylosowania** - to jest warunek, który tu przyjmujemy.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(59\\) losów pustych\n\n### Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo\nNiech \\(n\\) - łączna liczba losów. Liczba nagród książkowych to \\(10\\). Prawdopodobieństwo wylosowania nagrody książkowej:\n\\[P = \\dfrac{10}{n} = \\dfrac{1}{7} \\Rightarrow n = 70.\\]\n\nŁącznie losów: \\(n = 70\\). Wśród nich:\n- \\(1\\) nagroda główna (zestaw płyt),\n- \\(10\\) nagród książkowych,\n- reszta to losy **puste**.\n\n**Liczba losów pustych:**\n\\[70 - 1 - 10 = 59.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nSkoro \\(\\tfrac{1}{7}\\) losów daje nagrodę książkową i takich losów jest \\(10\\), to wszystkich losów jest \\(7 \\cdot 10 = 70\\). Po odjęciu \\(1\\) nagrody głównej i \\(10\\) książkowych zostaje \\(59\\) losów pustych.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie liczby wszystkich losów (\\(70\\));\n- 1 pkt za wyznaczenie liczby losów pustych (\\(59\\)).\n\n**Trik:** klasyczne prawdopodobieństwo to \\(P = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\). Gdy znamy \\(P\\) i \\(|A|\\), wyznaczamy \\(|\\Omega| = \\dfrac{|A|}{P}\\). Pamiętaj, że **losy puste** to te, które **nie są** nagrodami - a nagród jest \\(1 + 10 = 11\\).","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (5 pkt)
Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa
dm
4
i wysokość ma długość
dm
18
π
oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź
podstawy ma długość
dm.
3
4
Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt
nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.
6
Arkusz I

\n

7
Arkusz I

\n

8
Arkusz I
Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i wysokość ma długość 18pidm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4pierwiastkow3 dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy.

","answer_text_html":"

10.1
Obliczenie objętości stożka
1 p
96
V
dmł
10.2
Obliczenie pola powierzchni podstawy
ostrosłupa
1 p
48
P
dm2
10.3
Obliczenie długości wysokości ostrosłupa 1 p
6
H
dm
10.4
Wyznaczenie jednej z funkcji
trygonometrycznych kąta nachylenia
ściany bocznej ostrosłupa do jego
podstawy
1 p
3
tg
α
10.5
Wyznaczenie kąta nachylenia ściany
bocznej ostrosłupa do jego podstawy
1 p
°
= 60
α

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 59 losów pustych

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie liczby losów z definicji prawdopodobieństwa klasycznego

\n

Co wiemy:

\n\n

Krok 1 - Wyznacz całkowitą liczbę losów.

\n

Z definicji prawdopodobieństwa klasycznego:
\\[P(\\text{książka}) = \\frac{\\text{liczba losów z nagrodą książkową}}{\\text{wszystkie losy}} = \\frac{10}{N}\\]

\n

Wiemy, że \\(P(\\text{książka}) = \\dfrac{1}{7}\\), więc:
\\[\\frac{10}{N} = \\frac{1}{7}\\]
\\[N = 70\\]

\n

Łącznie jest 70 losów.

\n

Krok 2 - Odejmij losy z nagrodami.

\n

\\[\\text{losy puste} = N - \\text{nagroda główna} - \\text{nagrody książkowe}\\]
\\[\\text{losy puste} = 70 - 1 - 10 = \\mathbf{59}\\]

\n

Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo losu pustego

\n

Krok 1 - Wyznacz N tak samo jak wyżej: \\(N = 70\\).

\n

Krok 2 - Policz prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników i sprawdź, czy sumują się do 1.

\n

\\[P(\\text{nagroda główna}) = \\frac{1}{70}\\]
\\[P(\\text{nagroda książkowa}) = \\frac{10}{70} = \\frac{1}{7}\\]
\\[P(\\text{los pusty}) = \\frac{59}{70}\\]

\n

Sprawdzenie (suma musi równać się 1):
\\[\\frac{1}{70} + \\frac{10}{70} + \\frac{59}{70} = \\frac{70}{70} = 1 \\checkmark\\]

\n

Wynik potwierdzony: 59 losów pustych.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) to liczba sprzyjających wyników, a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników.

\n

Użyliśmy tego wzoru w Kroku 1: zdarzenie \\(A\\) = „wylosowanie nagrody książkowej", \\(|A| = 10\\), \\(|\\Omega| = N\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij odjąć obu rodzajów nagród - zarówno 10 książkowych, jak i 1 nagrody głównej. Częsty błąd to obliczenie \\(70 - 10 = 60\\) i pominięcie nagrody głównej.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi o \\(\\dfrac{1}{7}\\) jako prawdopodobieństwie wygrania nagrody książkowej - nie nagrody w ogóle. Gdybyś wziął \\(\\dfrac{1}{7}\\) za prawdopodobieństwo jakiejkolwiek nagrody, dostałbyś złą liczbę losów.
\n
⚠️ Uwaga: Prawdopodobieństwo klasyczne zakłada, że każdy los jest jednakowo możliwy do wylosowania - to jest warunek, który tu przyjmujemy.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(59\\) losów pustych

\n
Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo
\n

Niech \\(n\\) - łączna liczba losów. Liczba nagród książkowych to \\(10\\). Prawdopodobieństwo wylosowania nagrody książkowej:
\\[P = \\dfrac{10}{n} = \\dfrac{1}{7} \\Rightarrow n = 70.\\]

\n

Łącznie losów: \\(n = 70\\). Wśród nich:

\n\n

Liczba losów pustych:
\\[70 - 1 - 10 = 59.\\]

\n
Sposób 2 - Proporcja
\n

Skoro \\(\\tfrac{1}{7}\\) losów daje nagrodę książkową i takich losów jest \\(10\\), to wszystkich losów jest \\(7 \\cdot 10 = 70\\). Po odjęciu \\(1\\) nagrody głównej i \\(10\\) książkowych zostaje \\(59\\) losów pustych.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: klasyczne prawdopodobieństwo to \\(P = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\). Gdy znamy \\(P\\) i \\(|A|\\), wyznaczamy \\(|\\Omega| = \\dfrac{|A|}{P}\\). Pamiętaj, że losy puste to te, które nie są nagrodami - a nagród jest \\(1 + 10 = 11\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\alpha = 60^{\\circ}$

"}]}