Zadanie 2. (3 pkt)
Dany jest wektor
[
]
4,3
→
AB
oraz punkt
(
)
2
,1 -
A
Oblicz:
a) współrzędne punktu B ,
b) współrzędne i długość wektora
→
→
⋅
AB
v
2
2
Arkusz I
Dany jest wektor AB=[-3,4] oraz punkt A=(1,-2). Oblicz: a) współrzędne punktu $B$, b) współrzędne i długość wektora v=-2*AB
2.1
Obliczenie współrzędnych punktu B
1 p
(
)
2
,2
B
2.2
Obliczenie współrzędnych wektora
→
v
1 p
[
]
8
,6 -
→
v
2.3
Obliczenie długości wektora
→
v
1 p
10
→
v
a) Miejsca zerowe: \\(x = -1\\) oraz \\(x = 5\\)
\nb) \\(f(x) \\leq 0\\) dla \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)
\nc) \\(x = 0\\) lub \\(x = 4\\)
\nKrok 1 - Odczytaj miejsca zerowe (punkt a)
\nMiejsca zerowe funkcji to punkty przecięcia paraboli z osią \\(OX\\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \\(OX\\) w punktach:
\\[x_1 = -1 \\quad \\text{oraz} \\quad x_2 = 5\\]
Krok 2 - Określ kierunek ramion paraboli
\nZ rysunku widać, że parabola jest skierowana ramionami w dół (ma maksimum, nie minimum). To kluczowa obserwacja dla punktu b).
\nKrok 3 - Rozwiąż nierówność \\(f(x) \\leq 0\\) (punkt b)
\nParabola jest skierowana w dół, więc:
\nZatem:
\\[\\boxed{f(x) \\leq 0 \\iff x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)}\\]
Krok 4 - Wyznacz oś symetrii
\nOś symetrii paraboli przebiega przez środek odcinka między miejscami zerowymi:
\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-1 + 5}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]
Zatem oś symetrii: \\(x = 2\\).
\nKrok 5 - Rozwiąż równanie \\(f(x) = 3\\) (punkt c)
\nProsta \\(y = 3\\) przecina parabolę w dwóch punktach symetrycznych względem osi \\(x = 2\\). Z rysunku odczytujemy, że przecięcia następują dla \\(x = 0\\) oraz \\(x = 4\\).
\nWeryfikacja symetrii: środek między \\(0\\) i \\(4\\) to \\(\\frac{0+4}{2} = 2\\) ✓ - oba punkty są symetryczne względem osi \\(x = 2\\).
\nKrok 1 - Zapisz postać iloczynową
\nSkoro miejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 5\\), a parabola jest skierowana w dół (współczynnik \\(a < 0\\)):
\\[f(x) = a(x + 1)(x - 5)\\]
Krok 2 - Wyznacz współczynnik \\(a\\)
\nPodstawiamy jeden z punktów z wykresu: z rysunku widać, że dla \\(x = 0\\) zachodzi \\(f(0) = 3\\):
\\[f(0) = a \\cdot (0 + 1)(0 - 5) = a \\cdot 1 \\cdot (-5) = -5a = 3\\]
\\[a = -\\frac{3}{5}\\]
Zatem:
\\[f(x) = -\\frac{3}{5}(x + 1)(x - 5)\\]
Krok 3 - Sprawdź miejsca zerowe
\n\\(f(x) = 0 \\iff (x+1)(x-5) = 0 \\iff x = -1\\) lub \\(x = 5\\) ✓
\nKrok 4 - Rozwiąż \\(f(x) \\leq 0\\) algebraicznie
\n\\[-\\frac{3}{5}(x+1)(x-5) \\leq 0\\]
\nMnożymy obie strony przez \\(-\\frac{5}{3}\\) (ujemna liczba - zmieniamy znak nierówności):
\\[(x+1)(x-5) \\geq 0\\]
Iloczyn nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak:
\nWynik: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\) ✓
\nKrok 5 - Rozwiąż \\(f(x) = 3\\) algebraicznie
\n\\[-\\frac{3}{5}(x+1)(x-5) = 3\\]
\nMnożymy obie strony przez \\(-\\frac{5}{3}\\):
\\[(x+1)(x-5) = -5\\]
\\[x^2 - 4x - 5 = -5\\]
\\[x^2 - 4x = 0\\]
\\[x(x - 4) = 0\\]
\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 4\\] ✓
Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa trójmianu:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do zapisu funkcji na podstawie miejsc zerowych.
Dział 7 (s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]
Użyliśmy pośrednio do wyznaczenia osi symetrii \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\).
⚠️ Uwaga: Kierunek ramion paraboli decyduje o znaku nierówności! Dla paraboli skierowanej w dół funkcja jest ujemna na zewnątrz miejsc zerowych - odwrotnie niż dla paraboli skierowanej w górę. Łatwo tu się pomylić.\n
⚠️ Uwaga: W punkcie b) nierówność jest nieostra (\\(\\leq\\)), więc miejsca zerowe \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\) należą do rozwiązania - przedziały domknięte \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarte \\(()\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy szukaniu punktów \\(f(x) = 3\\) nie wystarczy odczytać jeden punkt z wykresu - zawsze są dwa punkty symetryczne względem osi symetrii. Sprawdź, czy obie wartości są symetryczne względem \\(x = 2\\): \\(\\frac{0+4}{2} = 2\\) ✓\n
Poprawna odpowiedź:
\nZ rysunku widać, że parabola otwiera się w dół (\\(a < 0\\)) i przecina oś \\(OX\\) w punktach \\(x = -1\\) oraz \\(x = 5\\). Wierzchołek leży w punkcie o odciętej \\(x_{w} = \\dfrac{-1+5}{2} = 2\\).
\na) Miejsca zerowe: to właśnie \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\).
\nb) \\(f(x) \\le 0\\): ponieważ parabola otwiera się w dół, \\(f(x) \\le 0\\) poza przedziałem miejsc zerowych:
\\[x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty).\\]
c) \\(f(x) = 3\\): z wykresu odczytujemy punkty przecięcia paraboli z prostą \\(y = 3\\). Są to \\(x = 0\\) i \\(x = 4\\).
\nZ miejsc zerowych \\(x = -1, x = 5\\): \\(f(x) = a(x+1)(x-5)\\). Wierzchołek ma odciętą \\(x_{w} = 2\\), a z wykresu wartość \\(y_{w} = 4\\) (punkt wierzchołka nad osią \\(OX\\)):
\\[f(2) = a(3)(-3) = -9a = 4 \\Rightarrow a = -\\tfrac{4}{9}.\\]
Zatem \\(f(x) = -\\tfrac{4}{9}(x+1)(x-5)\\).
Dla \\(f(x) = 3\\):
\\[-\\tfrac{4}{9}(x+1)(x-5) = 3 \\iff (x+1)(x-5) = -\\tfrac{27}{4}.\\]
(Jednak prostsze jest bezpośrednio odczytać \\(x = 0, x = 4\\) z wykresu.)
Trik: gdy mamy wykres funkcji kwadratowej z widocznymi miejscami zerowymi, rozwiązania nierówności i równań odczytujemy bezpośrednio z rysunku - nie trzeba wyznaczać wzoru.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$B=(-2, 2)$, $\\vec{v}=[6, -8]$, $|\\vec{v}|=10$
"}]}