{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nW pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki.\nTabelka przedstawia zestawienie wyników testu:\nOcena\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nLiczba uczniów\n10\n30\n80\n30\n25\n5\na) Sporządź diagram słupkowy przedstawiający zestawienie wyników testu.\nb) Oblicz średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.\nc) Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej arytmetycznej ocen.\n3\nArkusz I\nW pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki. Tabelka przedstawia wyniki testu.","answer":null,"answer_text":"4.1\nWybór i wyskalowanie osi\n1 p\n4.2\nSporządzenie diagramu\n1 p\n4.3\nWyznaczenie liczby wszystkich uczniów\n1 p\n180\n4.4\nWyznaczenie średniej.\n1 p\n3,25\n4.5\nObliczenie liczby uczniów, którzy uzyskali\nocenę powyżej średniej\n1 p\n60","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_n = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)\n\n## Sposób 1 - odczytanie parametrów i podstawienie do wzoru\n\n**Krok 1: Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę ciągu.**\n\nZ treści mamy kolejne wyrazy: \\(102, 105, 108, 111, \\ldots\\)\n\n- Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 102\\)\n- Różnica: \\(r = 105 - 102 = 3\\)\n\nSprawdzamy: \\(108 - 105 = 3\\) ✓, \\(111 - 108 = 3\\) ✓ - to faktycznie ciąg arytmetyczny.\n\n**Krok 2: Podstaw do wzoru ogólnego.**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n\\[a_n = 102 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\n\\[a_n = 102 + 3n - 3\\]\n\n\\[\\boxed{a_n = 3n + 99}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(a_{81}\\).**\n\n\\[a_{81} = 3 \\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = \\boxed{342}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez własność ciągu arytmetycznego\n\nWiemy, że w ciągu arytmetycznym każdy wyraz to poprzedni plus \\(r\\). Możemy myśleć o tym inaczej: **\\(a_n\\) to \\(a_1\\) powiększone o \\((n-1)\\) kroków po \\(3\\).**\n\nDla \\(a_{81}\\) robimy \\(80\\) kroków od \\(a_1 = 102\\):\n\n\\[a_{81} = 102 + 80 \\cdot 3 = 102 + 240 = \\boxed{342}\\]\n\nWeryfikacja wzoru ogólnego - sprawdźmy kilka wyrazów:\n- \\(a_1 = 3 \\cdot 1 + 99 = 102\\) ✓\n- \\(a_2 = 3 \\cdot 2 + 99 = 105\\) ✓\n- \\(a_3 = 3 \\cdot 3 + 99 = 108\\) ✓\n\nWzór działa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako punkt wyjścia. To jedyna potrzebna tu formuła z karty.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\((n-1) \\cdot r\\) z \\(n \\cdot r\\). Wtedy wychodzi \\(a_n = 3n + 102\\) zamiast \\(3n + 99\\), co daje \\(a_1 = 105\\) - o jeden za dużo!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a_{81}\\) łatwo wstawić \\(80\\) zamiast \\(81\\) (lub odwrotnie). Pamiętaj: do wzoru ogólnego wstawiasz \\(n = 81\\) bez żadnych korekt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj \\(a_n = 102 + 3(n-1)\\) do postaci \\(3n + 99\\) - nauczyciele często wymagają wzoru w postaci \\(a_n = \\ldots\\) (z \\(n\\), bez nawiasów). Zostaw wynik w uproszczonej formie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{n} = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)\n\n### Sposób 1 - Wzór na ciąg arytmetyczny\nZ ciągu odczytujemy:\n- pierwszy wyraz: \\(a_{1} = 102\\);\n- różnica: \\(r = 105 - 102 = 3\\).\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\).\n\\[a_{n} = 102 + (n-1)\\cdot 3 = 102 + 3n - 3 = 3n + 99.\\]\n\n**Wyraz \\(a_{81}\\):**\n\\[a_{81} = 3\\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = 342.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie \\(a_{81}\\) bezpośrednio ze wzoru\n\\[a_{81} = a_{1} + 80r = 102 + 80\\cdot 3 = 102 + 240 = 342.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt za zapisanie wzoru ogólnego \\(a_{n} = 3n + 99\\) (1 pkt za podanie \\(a_{1}\\) i \\(r\\));\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{81} = 342\\).\n\n**Trik:** różnicę ciągu arytmetycznego liczymy jako \\(r = a_{2} - a_{1}\\). Wzór \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\) można zawsze rozwinąć do postaci \\(a_{n} = An + B\\) - wtedy \\(A = r\\), \\(B = a_{1} - r\\).","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (5 pkt)
W pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki.
Tabelka przedstawia zestawienie wyników testu:
Ocena
1
2
3
4
5
6
Liczba uczniów
10
30
80
30
25
5
a) Sporządź diagram słupkowy przedstawiający zestawienie wyników testu.
b) Oblicz średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
c) Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej arytmetycznej ocen.
3
Arkusz I
W pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki. Tabelka przedstawia wyniki testu.

","answer_text_html":"

4.1
Wybór i wyskalowanie osi
1 p
4.2
Sporządzenie diagramu
1 p
4.3
Wyznaczenie liczby wszystkich uczniów
1 p
180
4.4
Wyznaczenie średniej.
1 p
3,25
4.5
Obliczenie liczby uczniów, którzy uzyskali
ocenę powyżej średniej
1 p
60

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_n = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)

\n

Sposób 1 - odczytanie parametrów i podstawienie do wzoru

\n

Krok 1: Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

\n

Z treści mamy kolejne wyrazy: \\(102, 105, 108, 111, \\ldots\\)

\n\n

Sprawdzamy: \\(108 - 105 = 3\\) ✓, \\(111 - 108 = 3\\) ✓ - to faktycznie ciąg arytmetyczny.

\n

Krok 2: Podstaw do wzoru ogólnego.

\n

\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]

\n

\\[a_n = 102 + (n-1) \\cdot 3\\]

\n

\\[a_n = 102 + 3n - 3\\]

\n

\\[\\boxed{a_n = 3n + 99}\\]

\n

Krok 3: Oblicz \\(a_{81}\\).

\n

\\[a_{81} = 3 \\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = \\boxed{342}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez własność ciągu arytmetycznego

\n

Wiemy, że w ciągu arytmetycznym każdy wyraz to poprzedni plus \\(r\\). Możemy myśleć o tym inaczej: \\(a_n\\) to \\(a_1\\) powiększone o \\((n-1)\\) kroków po \\(3\\).

\n

Dla \\(a_{81}\\) robimy \\(80\\) kroków od \\(a_1 = 102\\):

\n

\\[a_{81} = 102 + 80 \\cdot 3 = 102 + 240 = \\boxed{342}\\]

\n

Weryfikacja wzoru ogólnego - sprawdźmy kilka wyrazów:

\n\n

Wzór działa.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 jako punkt wyjścia. To jedyna potrzebna tu formuła z karty.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pomylenie \\((n-1) \\cdot r\\) z \\(n \\cdot r\\). Wtedy wychodzi \\(a_n = 3n + 102\\) zamiast \\(3n + 99\\), co daje \\(a_1 = 105\\) - o jeden za dużo!
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(a_{81}\\) łatwo wstawić \\(80\\) zamiast \\(81\\) (lub odwrotnie). Pamiętaj: do wzoru ogólnego wstawiasz \\(n = 81\\) bez żadnych korekt.
\n
⚠️ Uwaga: Upraszczaj \\(a_n = 102 + 3(n-1)\\) do postaci \\(3n + 99\\) - nauczyciele często wymagają wzoru w postaci \\(a_n = \\ldots\\) (z \\(n\\), bez nawiasów). Zostaw wynik w uproszczonej formie.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(a_{n} = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)

\n
Sposób 1 - Wzór na ciąg arytmetyczny
\n

Z ciągu odczytujemy:

\n\n

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\).
\\[a_{n} = 102 + (n-1)\\cdot 3 = 102 + 3n - 3 = 3n + 99.\\]

\n

Wyraz \\(a_{81}\\):
\\[a_{81} = 3\\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = 342.\\]

\n
Sposób 2 - Obliczenie \\(a_{81}\\) bezpośrednio ze wzoru
\n

\\[a_{81} = a_{1} + 80r = 102 + 80\\cdot 3 = 102 + 240 = 342.\\]

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: różnicę ciągu arytmetycznego liczymy jako \\(r = a_{2} - a_{1}\\). Wzór \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\) można zawsze rozwinąć do postaci \\(a_{n} = An + B\\) - wtedy \\(A = r\\), \\(B = a_{1} - r\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

liczba uczniów: $180$, średnia: $3,25$, powyżej średniej: $60$

"}]}