{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nAnia przeczytała książkę science-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała\no taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli\nwiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron a w ostatnim 68?\nAnia przeczytała książkę sience-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron a w ostatnim 68?","answer":null,"answer_text":"5.1\nZauważenie, że liczby stron przeczytanych\nw kolejnych dniach to wyrazy ciągu\narytmetycznego i przyjęcie oznaczeń\n1 p.\nnp.\nąa - liczba stron przeczytanych w pierwszym\ndniu, r - różnica liczby stron przeczytanych w\nkolejnych dniach\n5.2\nUłożenie układu równań (1) pozwalającego\nwyznaczyć\nąa i r .\n1 p.\n(1)\n\n\n\n68\n12\n28\n2\n1\n1\nr\na\nr\na\n5.3\nRozwiązanie układu równań (1)\n1 p\n\n\n\n4\n20\n1\nr\na\n5.4\nObliczenie liczby stron książki\n1 p\n572","solution":"## Poprawna odpowiedź: ok. 980 cm\n\n## Sposób 1 - Trygonometria (sinus nachylenia)\n\n**Wyznaczamy całkowitą wysokość schodów.**\n\nSchody mają 8 stopni, każdy po 15 cm wysokości:\n\\[h = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}\\]\n\n**Rozumienie geometrii podjazdu.**\n\nPodjazd tworzy trójkąt prostokątny:\n- przyprostokątna pionowa = całkowita wysokość = \\(h = 120\\) cm\n- kąt nachylenia podjazdu do podłoża = \\(7°\\)\n- szukamy **długości podjazdu** = przeciwprostokątna (boku ukośnego)\n\nRelacja trygonometryczna:\n\\[\\sin 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{długość podjazdu}} = \\frac{h}{d}\\]\n\nStąd:\n\\[d = \\frac{h}{\\sin 7°} = \\frac{120}{\\sin 7°}\\]\n\nZ tablicy (karta CKE, s. 34) lub kalkulatora: \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\)\n\n\\[d = \\frac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}\\]\n\nZaokrąglamy do 10 cm:\n\n**\\[d \\approx 980 \\text{ cm}\\]**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez tangensa\n\nZamiast sinusa możemy podejść przez tangens i sprawdzić wynik.\n\n\\[\\operatorname{tg} 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{rzut poziomy}} = \\frac{h}{x}\\]\n\nRzut poziomy (podstawa trójkąta):\n\\[x = \\frac{h}{\\operatorname{tg} 7°} = \\frac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}0 \\text{ cm}\\]\n\nTeraz z twierdzenia Pitagorasa liczymy długość podjazdu (przeciwprostokątną):\n\\[d = \\sqrt{h^2 + x^2} = \\sqrt{120^2 + 977^2} = \\sqrt{14400 + 954529} = \\sqrt{968929} \\approx 984{,}3 \\text{ cm}\\]\n\nPo zaokrągleniu do 10 cm: **\\(d \\approx 980\\) cm** ✓\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} \\quad \\Rightarrow \\quad \\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]\n\nW naszym zadaniu: kąt \\(\\alpha = 7°\\), przyprostokątna pionowa \\(a = 120\\) cm, szukamy \\(c\\) (długości podjazdu).\n\n**Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)** - wartość \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\) odczytana z tablicy na ostatniej stronie karty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wysokości **jednego stopnia** z **całkowitą wysokością**. Całkowita wysokość to \\(8 \\times 15 = 120\\) cm - tu uczniowie często piszą samo 15 cm i liczą dalej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Długość podjazdu to **przeciwprostokątna**, nie podstawa trójkąta (rzut poziomy). Schemat: nachylenie 7° jest między poziomem a podjazdem, więc sinus łączy wysokość z długością ukośną - NIE z rzutem poziomym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie \"do 10 cm\" oznacza, że wynik \\(984{,}4\\) cm zaokrąglamy do **980 cm** (cyfra jedności i dziesiątek → 0). Zaokrąglanie do 10 cm = patrzymy na cyfrę jedności: \\(4 < 5\\), więc w dół.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\approx 980\\) cm\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym\n**Krok 1 - wysokość schodów:**\n\\[BC = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 2 - rysunek:** podjazd to przeciwprostokątna \\(AC\\) trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej \\(BC = 120\\) cm i kącie \\(\\angle CAB = 7^{\\circ}\\).\n\n**Krok 3 - sinus kąta ostrego:**\n\\[\\sin\\angle CAB = \\dfrac{BC}{AC} \\Rightarrow AC = \\dfrac{BC}{\\sin 7^{\\circ}}.\\]\n\n**Krok 4 - podstawienie (z tablic \\(\\sin 7^{\\circ} \\approx 0{,}1219\\)):**\n\\[AC = \\dfrac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 5 - zaokrąglenie do \\(10\\) cm:**\n\\[AC \\approx 980 \\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Użycie tangensa i twierdzenia Pitagorasa\n\\(\\tan 7^{\\circ} = \\dfrac{BC}{AB} \\Rightarrow AB = \\dfrac{120}{\\tan 7^{\\circ}} = \\dfrac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}2\\) cm.\nZ twierdzenia Pitagorasa: \\(AC = \\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \\sqrt{977{,}2^{2} + 120^{2}} \\approx 984{,}5\\) cm \\(\\approx 980\\) cm.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za rysunek lub oznaczenia;\n- 1 pkt za obliczenie wysokości \\(BC = 120\\) cm;\n- 1 pkt za odczyt \\(\\sin 7^{\\circ} = 0{,}1219\\) (lub innego poprawnego przybliżenia);\n- 2 pkt za obliczenie długości podjazdu i podanie wyniku z zaokrągleniem (\\(980\\) cm).\n\n**Trik:** przy małych kątach \\(\\sin \\alpha \\approx \\alpha\\) w radianach - ale w zadaniu maturalnym zawsze używamy tablic!","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (4 pkt)<br>Ania przeczytała książkę science-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała<br>o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli<br>wiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron a w ostatnim 68?<br>Ania przeczytała książkę sience-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron a w ostatnim 68?</p>","answer_text_html":"<p>5.1<br>Zauważenie, że liczby stron przeczytanych<br>w kolejnych dniach to wyrazy ciągu<br>arytmetycznego i przyjęcie oznaczeń<br>1 p.<br>np.<br>ąa - liczba stron przeczytanych w pierwszym<br>dniu, r - różnica liczby stron przeczytanych w<br>kolejnych dniach<br>5.2<br>Ułożenie układu równań (1) pozwalającego<br>wyznaczyć<br>ąa i r .<br>1 p.<br>(1)<br><br><br><br>68<br>12<br>28<br>2<br>1<br>1<br>r<br>a<br>r<br>a<br>5.3<br>Rozwiązanie układu równań (1)<br>1 p<br><br><br><br>4<br>20<br>1<br>r<br>a<br>5.4<br>Obliczenie liczby stron książki<br>1 p<br>572</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: ok. 980 cm</h4>\n<h4>Sposób 1 - Trygonometria (sinus nachylenia)</h4>\n<p><strong>Wyznaczamy całkowitą wysokość schodów.</strong></p>\n<p>Schody mają 8 stopni, każdy po 15 cm wysokości:<br>\\[h = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}\\]</p>\n<p><strong>Rozumienie geometrii podjazdu.</strong></p>\n<p>Podjazd tworzy trójkąt prostokątny:</p>\n<ul><li>przyprostokątna pionowa = całkowita wysokość = \\(h = 120\\) cm</li><li>kąt nachylenia podjazdu do podłoża = \\(7°\\)</li><li>szukamy <strong>długości podjazdu</strong> = przeciwprostokątna (boku ukośnego)</li></ul>\n<p>Relacja trygonometryczna:<br>\\[\\sin 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{długość podjazdu}} = \\frac{h}{d}\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[d = \\frac{h}{\\sin 7°} = \\frac{120}{\\sin 7°}\\]</p>\n<p>Z tablicy (karta CKE, s. 34) lub kalkulatora: \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\)</p>\n<p>\\[d = \\frac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}\\]</p>\n<p>Zaokrąglamy do 10 cm:</p>\n<p><strong>\\[d \\approx 980 \\text{ cm}\\]</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez tangensa</h4>\n<p>Zamiast sinusa możemy podejść przez tangens i sprawdzić wynik.</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg} 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{rzut poziomy}} = \\frac{h}{x}\\]</p>\n<p>Rzut poziomy (podstawa trójkąta):<br>\\[x = \\frac{h}{\\operatorname{tg} 7°} = \\frac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}0 \\text{ cm}\\]</p>\n<p>Teraz z twierdzenia Pitagorasa liczymy długość podjazdu (przeciwprostokątną):<br>\\[d = \\sqrt{h^2 + x^2} = \\sqrt{120^2 + 977^2} = \\sqrt{14400 + 954529} = \\sqrt{968929} \\approx 984{,}3 \\text{ cm}\\]</p>\n<p>Po zaokrągleniu do 10 cm: <strong>\\(d \\approx 980\\) cm</strong> ✓</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} \\quad \\Rightarrow \\quad \\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]</p>\n<p>W naszym zadaniu: kąt \\(\\alpha = 7°\\), przyprostokątna pionowa \\(a = 120\\) cm, szukamy \\(c\\) (długości podjazdu).</p>\n<p><strong>Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)</strong> - wartość \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\) odczytana z tablicy na ostatniej stronie karty.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl wysokości <strong>jednego stopnia</strong> z <strong>całkowitą wysokością</strong>. Całkowita wysokość to \\(8 \\times 15 = 120\\) cm - tu uczniowie często piszą samo 15 cm i liczą dalej!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Długość podjazdu to <strong>przeciwprostokątna</strong>, nie podstawa trójkąta (rzut poziomy). Schemat: nachylenie 7° jest między poziomem a podjazdem, więc sinus łączy wysokość z długością ukośną - NIE z rzutem poziomym.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zaokrąglenie &quot;do 10 cm&quot; oznacza, że wynik \\(984{,}4\\) cm zaokrąglamy do <strong>980 cm</strong> (cyfra jedności i dziesiątek → 0). Zaokrąglanie do 10 cm = patrzymy na cyfrę jedności: \\(4 &lt; 5\\), więc w dół.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(\\approx 980\\) cm</p>\n<h5>Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym</h5>\n<p><strong>Krok 1 - wysokość schodów:</strong><br>\\[BC = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - rysunek:</strong> podjazd to przeciwprostokątna \\(AC\\) trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej \\(BC = 120\\) cm i kącie \\(\\angle CAB = 7^{\\circ}\\).</p>\n<p><strong>Krok 3 - sinus kąta ostrego:</strong><br>\\[\\sin\\angle CAB = \\dfrac{BC}{AC} \\Rightarrow AC = \\dfrac{BC}{\\sin 7^{\\circ}}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - podstawienie (z tablic \\(\\sin 7^{\\circ} \\approx 0{,}1219\\)):</strong><br>\\[AC = \\dfrac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 5 - zaokrąglenie do \\(10\\) cm:</strong><br>\\[AC \\approx 980 \\text{ cm}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Użycie tangensa i twierdzenia Pitagorasa</h5>\n<p>\\(\\tan 7^{\\circ} = \\dfrac{BC}{AB} \\Rightarrow AB = \\dfrac{120}{\\tan 7^{\\circ}} = \\dfrac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}2\\) cm.<br>Z twierdzenia Pitagorasa: \\(AC = \\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \\sqrt{977{,}2^{2} + 120^{2}} \\approx 984{,}5\\) cm \\(\\approx 980\\) cm.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>1 pkt za rysunek lub oznaczenia;</li><li>1 pkt za obliczenie wysokości \\(BC = 120\\) cm;</li><li>1 pkt za odczyt \\(\\sin 7^{\\circ} = 0{,}1219\\) (lub innego poprawnego przybliżenia);</li><li>2 pkt za obliczenie długości podjazdu i podanie wyniku z zaokrągleniem (\\(980\\) cm).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przy małych kątach \\(\\sin \\alpha \\approx \\alpha\\) w radianach - ale w zadaniu maturalnym zawsze używamy tablic!</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$572$</p>"}]}