{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nJeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu\nd\ncx\nbx\nax\nx\nW\n2\n3\n)\n(\n,\ngdzie\n0\n≠\na\noraz\n2\n)\n4\n(\nW\n, to współczynnik a można wyznaczyć postępując w następujący\nsposób:\nWielomian W zapisujemy w postaci iloczynowej:\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n1\n3\n2\nx\nx\nx\na\nx\nW\ni wykorzystując warunek\n( )\n2\n4 =\nW\notrzymujemy równanie:\n(\n)(\n)(\n)\n1\n4\n3\n4\n2\n4\n2\n= a\n,\nstąd\n5\n1\na\nPostępując analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu\n( )\nd\ncx\nbx\nax\nx\nW\n2\n3\n,\nwiedząc, że jego miejsca zerowe to\n2\n1\nx\n,\n1\n2 =\nx\n,\n2\n3 =\nx\noraz\n(\n)\n3\n1 =\nW\n4\nArkusz I\nWielomian W zapisujemy w postaci iloczynowej: W(x)=a(x-2)(x-3)(x+1) i wykorzystując warunek W(4)=2 otrzymujemy równanie: 2=a(4-2)(4-3)(4+1)$, stąd a={1/5}. Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu W(x)=ax^3+bx^2+cx+d, wiedząc, że jego miejsca zerowe to x_1=-2, x_2=1, x_3=2 oraz W(-1)=3.","answer":null,"answer_text":"6.1\nPrzedstawienie wielomianu W w postaci\niloczynowej .\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)\n\n## Sposób 1 - iteracyjne wyznaczanie kolejnych wyrazów\n\nMamy dane:\n\\[a_1 = 1, \\quad a_2 = 2\\]\noraz regułę rekurencyjną:\n\\[a_{n+2} = 2^{n-1} + a_n + a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_3\\)** - podstawiamy \\(n = 1\\):\n\\[a_3 = a_{1+2} = 2^{1-1} + a_1 + a_2 = 2^0 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_4\\)** - podstawiamy \\(n = 2\\):\n\\[a_4 = a_{2+2} = 2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2^1 + 2 + 4 = 2 + 2 + 4 = \\mathbf{8}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie ciągu\n\nWypisujemy kolejne wyrazy, żeby upewnić się, że nie pomyliliśmy indeksów:\n\n| \\(n\\) | \\(a_n\\) | Skąd? |\n| 1 | \\(1\\) | dane |\n| 2 | \\(2\\) | dane |\n| 3 | \\(2^{1-1} + a_1 + a_2 = 1 + 1 + 2 = 4\\) | \\(n=1\\) w regule |\n| 4 | \\(2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2 + 2 + 4 = 8\\) | \\(n=2\\) w regule |\n\nKluczowe: reguła mówi \\(a_{n+2} = \\ldots\\), więc aby dostać wyraz o indeksie \\(k\\), podstawiamy \\(n = k - 2\\). Dla \\(a_4\\) mamy \\(n = 2\\), więc potęga to \\(2^{n-1} = 2^1 = 2\\).\n\n**Potwierdzamy: \\(a_4 = 8\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważne podstawienie do wzoru rekurencyjnego zgodnie z podaną definicją ciągu.\n\nWarto jednak pamiętać, że ciągi są omówione w **Dziale 8 (Ciągi, s. 9-10)** - tam znajdziesz wzory na ciągi arytmetyczne i geometryczne, ale ten ciąg jest rekurencyjny i nie należy do żadnego z tych typów.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Indeks w potędze to \\(2^{n-1}\\), a **nie** \\(2^{n}\\) ani \\(2^{n+1}\\). Przy obliczaniu \\(a_3\\) podstawiamy \\(n=1\\), więc potęga wynosi \\(2^0 = 1\\), a nie \\(2\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Reguła \\(a_{n+2} = \\ldots\\) wiąże trzy wyrazy: \\(a_{n+2}\\), \\(a_{n+1}\\) i \\(a_n\\). Nie myl indeksów - do obliczenia \\(a_4\\) potrzebujesz \\(a_3\\) i \\(a_2\\), a nie \\(a_4\\) i \\(a_3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Definicja działa dla \\(n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\), czyli \\(n \\geq 1\\). Nie możemy podstawić \\(n = 0\\) - wtedy \\(a_2\\) byłoby wyznaczone z reguły zamiast być daną, co dałoby sprzeczność.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{4} = 8\\)\n\n### Sposób 1 - Iteracyjne obliczanie wyrazów\nZ rekurencji \\(a_{n+2} = 2^{n-1} + a_{n} + a_{n+1}\\) podstawiamy kolejno \\(n = 1, 2\\).\n\n**Dla \\(n = 1\\):** \\(a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2} = 1 + 1 + 2 = 4\\).\n\n**Dla \\(n = 2\\):** \\(a_{4} = 2^{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + 2 + 4 = 8\\).\n\nZatem \\(a_{4} = 8\\).\n\n### Sposób 2 - Tabelka\n| \\(n\\) | \\(a_{n}\\) | Obliczenie |\n| 1 | 1 | dane |\n| 2 | 2 | dane |\n| 3 | 4 | \\(2^{0} + 1 + 2 = 4\\) |\n| 4 | 8 | \\(2^{1} + 2 + 4 = 8\\) |\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za zapisanie zależności \\(a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2}\\);\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{3} = 4\\);\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{4} = 8\\).\n\n**Trik:** ciągi rekurencyjne zawsze oblicza się **po kolei** - nie ma tu wzoru jawnego, trzeba krok po kroku wyznaczyć \\(a_{3}\\), a dopiero potem \\(a_{4}\\). Uważaj na indeksy wykładnika: \\(2^{n-1}\\) dla \\(n=1\\) daje \\(2^{0}=1\\).","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (3 pkt)
Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu
d
cx
bx
ax
x
W
2
3
)
(
,
gdzie
0
≠
a
oraz
2
)
4
(
W
, to współczynnik a można wyznaczyć postępując w następujący
sposób:
Wielomian W zapisujemy w postaci iloczynowej:
( )
(
)(
)(
)
1
3
2
x
x
x
a
x
W
i wykorzystując warunek
( )
2
4 =
W
otrzymujemy równanie:
(
)(
)(
)
1
4
3
4
2
4
2
= a
,
stąd
5
1
a
Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu
( )
d
cx
bx
ax
x
W
2
3
,
wiedząc, że jego miejsca zerowe to
2
1
x
,
1
2 =
x
,
2
3 =
x
oraz
(
)
3
1 =
W
4
Arkusz I
Wielomian W zapisujemy w postaci iloczynowej: W(x)=a(x-2)(x-3)(x+1) i wykorzystując warunek W(4)=2 otrzymujemy równanie: 2=a(4-2)(4-3)(4+1)$, stąd a={1/5}. Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu W(x)=ax^3+bx^2+cx+d, wiedząc, że jego miejsca zerowe to x_1=-2, x_2=1, x_3=2 oraz W(-1)=3.

","answer_text_html":"

6.1
Przedstawienie wielomianu W w postaci
iloczynowej .
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)

\n

Sposób 1 - iteracyjne wyznaczanie kolejnych wyrazów

\n

Mamy dane:
\\[a_1 = 1, \\quad a_2 = 2\\]
oraz regułę rekurencyjną:
\\[a_{n+2} = 2^{n-1} + a_n + a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\]

\n

Wyznaczamy \\(a_3\\) - podstawiamy \\(n = 1\\):
\\[a_3 = a_{1+2} = 2^{1-1} + a_1 + a_2 = 2^0 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4\\]

\n

Wyznaczamy \\(a_4\\) - podstawiamy \\(n = 2\\):
\\[a_4 = a_{2+2} = 2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2^1 + 2 + 4 = 2 + 2 + 4 = \\mathbf{8}\\]

\n

Odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie ciągu

\n

Wypisujemy kolejne wyrazy, żeby upewnić się, że nie pomyliliśmy indeksów:

\n

| \\(n\\) | \\(a_n\\) | Skąd? |
| 1 | \\(1\\) | dane |
| 2 | \\(2\\) | dane |
| 3 | \\(2^{1-1} + a_1 + a_2 = 1 + 1 + 2 = 4\\) | \\(n=1\\) w regule |
| 4 | \\(2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2 + 2 + 4 = 8\\) | \\(n=2\\) w regule |

\n

Kluczowe: reguła mówi \\(a_{n+2} = \\ldots\\), więc aby dostać wyraz o indeksie \\(k\\), podstawiamy \\(n = k - 2\\). Dla \\(a_4\\) mamy \\(n = 2\\), więc potęga to \\(2^{n-1} = 2^1 = 2\\).

\n

Potwierdzamy: \\(a_4 = 8\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważne podstawienie do wzoru rekurencyjnego zgodnie z podaną definicją ciągu.

\n

Warto jednak pamiętać, że ciągi są omówione w Dziale 8 (Ciągi, s. 9-10) - tam znajdziesz wzory na ciągi arytmetyczne i geometryczne, ale ten ciąg jest rekurencyjny i nie należy do żadnego z tych typów.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Indeks w potędze to \\(2^{n-1}\\), a nie \\(2^{n}\\) ani \\(2^{n+1}\\). Przy obliczaniu \\(a_3\\) podstawiamy \\(n=1\\), więc potęga wynosi \\(2^0 = 1\\), a nie \\(2\\). To najczęstszy błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Reguła \\(a_{n+2} = \\ldots\\) wiąże trzy wyrazy: \\(a_{n+2}\\), \\(a_{n+1}\\) i \\(a_n\\). Nie myl indeksów - do obliczenia \\(a_4\\) potrzebujesz \\(a_3\\) i \\(a_2\\), a nie \\(a_4\\) i \\(a_3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Definicja działa dla \\(n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\), czyli \\(n \\geq 1\\). Nie możemy podstawić \\(n = 0\\) - wtedy \\(a_2\\) byłoby wyznaczone z reguły zamiast być daną, co dałoby sprzeczność.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(a_{4} = 8\\)

\n
Sposób 1 - Iteracyjne obliczanie wyrazów
\n

Z rekurencji \\(a_{n+2} = 2^{n-1} + a_{n} + a_{n+1}\\) podstawiamy kolejno \\(n = 1, 2\\).

\n

Dla \\(n = 1\\): \\(a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2} = 1 + 1 + 2 = 4\\).

\n

Dla \\(n = 2\\): \\(a_{4} = 2^{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + 2 + 4 = 8\\).

\n

Zatem \\(a_{4} = 8\\).

\n
Sposób 2 - Tabelka
\n

| \\(n\\) | \\(a_{n}\\) | Obliczenie |
| 1 | 1 | dane |
| 2 | 2 | dane |
| 3 | 4 | \\(2^{0} + 1 + 2 = 4\\) |
| 4 | 8 | \\(2^{1} + 2 + 4 = 8\\) |

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: ciągi rekurencyjne zawsze oblicza się po kolei - nie ma tu wzoru jawnego, trzeba krok po kroku wyznaczyć \\(a_{3}\\), a dopiero potem \\(a_{4}\\). Uważaj na indeksy wykładnika: \\(2^{n-1}\\) dla \\(n=1\\) daje \\(2^{0}=1\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a=\\dfrac{1}{2}$

"}]}