{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nPlanując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na\nwyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano\n%\n30\nzaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o\n60 złotych mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień\nzostało 270 złotych. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie.\nRozwiązanie zadania tekstowego z matury: Planując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano 30%$ zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o 60 złoty mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień zostało 270 złoty. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie. Układanie i rozwiązywanie równania.","answer":null,"answer_text":"7.1\n1 p\nnp. x - szukana kwota\nx\n3,0\n- wydatki w pierwszym tygodniu\n60\n3,0\nx\n- wydatki w drugim tygodniu\n7.2\nAnaliza zadania i przyjęcie oznaczeń\n1 p\n(\n)\n[\n]\n60\n3,0\n3,0\n2\n1\nx\nx\nx\n- (lub 1 540\n2 ⋅\nzł) wydatki w\ntrzecim tygodniu\n7.3\nUłożenie równania pozwalającego\nwyznaczyć szukaną kwotę.\n1 p\n(\n)\n[\n]\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n270\n60\n3,0\n3,0\n2\n1\n60\n3,0\n3,0\n7.4\nRozwiązanie równania i odpowiedź\n1 p\n1200\nx\nzł","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - odczyt z wykresu + wzór funkcji g\n\n**Krok 1: Odczytaj wzór funkcji f z wykresu.**\n\nZ wykresu odczytujemy, że prosta przechodzi przez punkty \\((-4,\\ 0)\\) i \\((0,\\ 8)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{8 - 0}{0 - (-4)} = \\frac{8}{4} = 2\\]\n\nWyraz wolny \\(b = 8\\) (punkt przecięcia z osią OY), więc:\n\\[f(x) = 2x + 8\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wzór funkcji g.**\n\nPrzesunięcie wykresu o wektor \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) oznacza:\n- każdy punkt \\((x,\\ y)\\) na wykresie f przesuwa się do punktu \\((x+2,\\ y+1)\\) na wykresie g\n\nDlatego wzór funkcji g po przesunięciu to:\n\\[g(x) = f(x - 2) + 1\\]\n\nPodstawiamy wzór f:\n\\[g(x) = 2(x-2) + 8 + 1 = 2x - 4 + 9 = 2x + 5\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz miejsce zerowe funkcji g.**\n\nSzukamy \\(x\\), dla którego \\(g(x) = 0\\):\n\\[2x + 5 = 0\\]\n\\[2x = -5\\]\n\\[\\boxed{x = -\\frac{5}{2} = -2{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - geometryczny (śledzenie punktu na f)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Miejsce zerowe g to punkt, w którym wykres g przecina oś OX - czyli punkt postaci \\((x_g,\\ 0)\\). Skoro jest on obrazem pewnego punktu \\((x_f,\\ y_f)\\) z wykresu f przesuniętego o \\([2, 1]\\), to:\n\\[(x_f + 2,\\ y_f + 1) = (x_g,\\ 0)\\]\n\nStąd \\(y_f + 1 = 0\\), czyli \\(y_f = -1\\).\n\n**Krok 1:** Znajdź punkt na wykresie f, gdzie \\(f(x) = -1\\):\n\\[2x + 8 = -1\\]\n\\[2x = -9\\]\n\\[x_f = -\\frac{9}{2} = -4{,}5\\]\n\nPunkt \\((-4{,}5;\\ -1)\\) leży na wykresie f.\n\n**Krok 2:** Przesuń ten punkt o wektor \\([2,\\ 1]\\):\n\\[(-4{,}5 + 2;\\ -1 + 1) = (-2{,}5;\\ 0)\\]\n\nPunkt \\((-2{,}5;\\ 0)\\) leży na osi OX i na wykresie g - to właśnie **miejsce zerowe funkcji g**.\n\\[\\boxed{x = -2{,}5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f(x) = 2x + 8\\) na podstawie dwóch punktów odczytanych z wykresu.\n\n> Właściwość przesunięcia o wektor \\([p,\\ q]\\): wzór funkcji zmienia się zgodnie z \\(g(x) = f(x - p) + q\\). To wynika z geometrii przekształceń - nie ma osobnego wzoru na karcie, ale warto zapamiętać regułę: **przesunięcie w prawo o p → odejmujemy p od argumentu**.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) to NIE jest \\(g(x) = f(x+2) + 1\\)! W argumencie pojawia się \\(x - 2\\) (odjęcie), bo punkt \\((x,y)\\) przechodzi do \\((x+2, y+1)\\), więc odwracamy - żeby \"wrócić\" do f, wstawiamy \\(x-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe funkcji f (tutaj \\(x = -4\\)) to nie to samo co miejsce zerowe g. Nie wystarczy do zera f dodać 2 - trzeba uwzględnić oba składowe wektora.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu - sprawdź dwa punkty, żeby upewnić się co do wartości współczynnika kierunkowego. Pomyłka w nachyleniu pociągnie błąd we wzorze g i złą odpowiedź.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -2{,}5\\)\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie punktów i wyznaczenie wzoru \\(g\\)\nZ wykresu odczytujemy punkty należące do prostej \\(f\\): np. \\((-2, 0)\\) (miejsce zerowe) i \\((3, 2)\\).\n\n**Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\):**\n- \\((-2, 0) \\to (0, 1)\\)\n- \\((3, 2) \\to (5, 3)\\)\n\n**Wyznaczenie wzoru funkcji \\(g\\) z punktów \\((0, 1)\\) i \\((5, 3)\\):**\n\\[a = \\dfrac{3-1}{5-0} = \\dfrac{2}{5}, \\quad b = 1.\\]\n\\[g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]\n\n**Miejsce zerowe:**\n\\[\\tfrac{2}{5}x + 1 = 0 \\Rightarrow x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Przesunięcie miejsca zerowego wzdłuż wektora\nMiejsce zerowe funkcji liniowej \\(f\\) to \\(x_{0} = -2\\) (punkt \\((-2, 0)\\) z wykresu). Po przesunięciu o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\) punkt \\((-2, 0)\\) przechodzi na \\((0, 1)\\) - to **nie** jest miejsce zerowe \\(g\\), bo \\(y \\ne 0\\).\n\nWyznaczamy wzór \\(f\\) z wykresu: \\(f(x) = \\tfrac{2}{5}x + \\tfrac{4}{5}\\) (nachylenie \\(\\tfrac{2}{5}\\), miejsce zerowe \\(-2\\)).\n\nPrzesunięcie wykresu o wektor \\([2,1]\\) odpowiada zamianie \\(x \\to x-2, y \\to y-1\\):\n\\[y - 1 = f(x-2) = \\tfrac{2}{5}(x-2) + \\tfrac{4}{5}\\]\n\\[y = \\tfrac{2}{5}x - \\tfrac{4}{5} + \\tfrac{4}{5} + 1 = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]\nZatem \\(g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1\\), a miejsce zerowe: \\(x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt za wyznaczenie wzoru \\(f\\) lub za wyznaczenie obrazów dwóch punktów (po 1 pkt za każdy obraz);\n- 2 pkt za wyznaczenie wzoru \\(g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1\\) (1 pkt za zapis układu \\(x = x'-2, y = y'-1\\));\n- 1 pkt za miejsce zerowe \\(x = -2{,}5\\).\n\n**Trik:** przesunięcie wykresu \\(y = f(x)\\) o wektor \\([p, q]\\) daje wykres \\(y = f(x-p) + q\\). Miejsce zerowe przesuwa się wzdłuż osi \\(OX\\) o tyle, ile wynosi **całkowite** przesunięcie - nie tylko składowa wektora!","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (4 pkt)
Planując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na
wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano
%
30
zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o
60 złotych mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień
zostało 270 złotych. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie.
Rozwiązanie zadania tekstowego z matury: Planując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano 30%$ zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o 60 złoty mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień zostało 270 złoty. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie. Układanie i rozwiązywanie równania.

","answer_text_html":"

7.1
1 p
np. x - szukana kwota
x
3,0

\n\n

60
3,0
x

\n\n

7.2
Analiza zadania i przyjęcie oznaczeń
1 p
(
)
[
]
60
3,0
3,0
2
1
x
x
x

\n\n

2 ⋅
zł) wydatki w
trzecim tygodniu
7.3
Ułożenie równania pozwalającego
wyznaczyć szukaną kwotę.
1 p
(
)
[
]
x
x
x
x
x
x
270
60
3,0
3,0
2
1
60
3,0
3,0
7.4
Rozwiązanie równania i odpowiedź
1 p
1200
x
zł

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = -2{,}5\\)

\n

Sposób 1 - odczyt z wykresu + wzór funkcji g

\n

Krok 1: Odczytaj wzór funkcji f z wykresu.

\n

Z wykresu odczytujemy, że prosta przechodzi przez punkty \\((-4,\\ 0)\\) i \\((0,\\ 8)\\).

\n

Współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\frac{8 - 0}{0 - (-4)} = \\frac{8}{4} = 2\\]

\n

Wyraz wolny \\(b = 8\\) (punkt przecięcia z osią OY), więc:
\\[f(x) = 2x + 8\\]

\n

Krok 2: Wyznacz wzór funkcji g.

\n

Przesunięcie wykresu o wektor \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) oznacza:

\n\n

Dlatego wzór funkcji g po przesunięciu to:
\\[g(x) = f(x - 2) + 1\\]

\n

Podstawiamy wzór f:
\\[g(x) = 2(x-2) + 8 + 1 = 2x - 4 + 9 = 2x + 5\\]

\n

Krok 3: Wyznacz miejsce zerowe funkcji g.

\n

Szukamy \\(x\\), dla którego \\(g(x) = 0\\):
\\[2x + 5 = 0\\]
\\[2x = -5\\]
\\[\\boxed{x = -\\frac{5}{2} = -2{,}5}\\]

\n

Sposób 2 - geometryczny (śledzenie punktu na f)

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Miejsce zerowe g to punkt, w którym wykres g przecina oś OX - czyli punkt postaci \\((x_g,\\ 0)\\). Skoro jest on obrazem pewnego punktu \\((x_f,\\ y_f)\\) z wykresu f przesuniętego o \\([2, 1]\\), to:
\\[(x_f + 2,\\ y_f + 1) = (x_g,\\ 0)\\]

\n

Stąd \\(y_f + 1 = 0\\), czyli \\(y_f = -1\\).

\n

Krok 1: Znajdź punkt na wykresie f, gdzie \\(f(x) = -1\\):
\\[2x + 8 = -1\\]
\\[2x = -9\\]
\\[x_f = -\\frac{9}{2} = -4{,}5\\]

\n

Punkt \\((-4{,}5;\\ -1)\\) leży na wykresie f.

\n

Krok 2: Przesuń ten punkt o wektor \\([2,\\ 1]\\):
\\[(-4{,}5 + 2;\\ -1 + 1) = (-2{,}5;\\ 0)\\]

\n

Punkt \\((-2{,}5;\\ 0)\\) leży na osi OX i na wykresie g - to właśnie miejsce zerowe funkcji g.
\\[\\boxed{x = -2{,}5}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]

\n

Użyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f(x) = 2x + 8\\) na podstawie dwóch punktów odczytanych z wykresu.

\n
Właściwość przesunięcia o wektor \\([p,\\ q]\\): wzór funkcji zmienia się zgodnie z \\(g(x) = f(x - p) + q\\). To wynika z geometrii przekształceń - nie ma osobnego wzoru na karcie, ale warto zapamiętać regułę: przesunięcie w prawo o p → odejmujemy p od argumentu.
\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) to NIE jest \\(g(x) = f(x+2) + 1\\)! W argumencie pojawia się \\(x - 2\\) (odjęcie), bo punkt \\((x,y)\\) przechodzi do \\((x+2, y+1)\\), więc odwracamy - żeby "wrócić" do f, wstawiamy \\(x-2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Miejsce zerowe funkcji f (tutaj \\(x = -4\\)) to nie to samo co miejsce zerowe g. Nie wystarczy do zera f dodać 2 - trzeba uwzględnić oba składowe wektora.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odczycie z wykresu - sprawdź dwa punkty, żeby upewnić się co do wartości współczynnika kierunkowego. Pomyłka w nachyleniu pociągnie błąd we wzorze g i złą odpowiedź.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = -2{,}5\\)

\n
Sposób 1 - Przesunięcie punktów i wyznaczenie wzoru \\(g\\)
\n

Z wykresu odczytujemy punkty należące do prostej \\(f\\): np. \\((-2, 0)\\) (miejsce zerowe) i \\((3, 2)\\).

\n

Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\):

\n\n

Wyznaczenie wzoru funkcji \\(g\\) z punktów \\((0, 1)\\) i \\((5, 3)\\):
\\[a = \\dfrac{3-1}{5-0} = \\dfrac{2}{5}, \\quad b = 1.\\]
\\[g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]

\n

Miejsce zerowe:
\\[\\tfrac{2}{5}x + 1 = 0 \\Rightarrow x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5.\\]

\n
Sposób 2 - Przesunięcie miejsca zerowego wzdłuż wektora
\n

Miejsce zerowe funkcji liniowej \\(f\\) to \\(x_{0} = -2\\) (punkt \\((-2, 0)\\) z wykresu). Po przesunięciu o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\) punkt \\((-2, 0)\\) przechodzi na \\((0, 1)\\) - to nie jest miejsce zerowe \\(g\\), bo \\(y \\ne 0\\).

\n

Wyznaczamy wzór \\(f\\) z wykresu: \\(f(x) = \\tfrac{2}{5}x + \\tfrac{4}{5}\\) (nachylenie \\(\\tfrac{2}{5}\\), miejsce zerowe \\(-2\\)).

\n

Przesunięcie wykresu o wektor \\([2,1]\\) odpowiada zamianie \\(x \\to x-2, y \\to y-1\\):
\\[y - 1 = f(x-2) = \\tfrac{2}{5}(x-2) + \\tfrac{4}{5}\\]
\\[y = \\tfrac{2}{5}x - \\tfrac{4}{5} + \\tfrac{4}{5} + 1 = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]
Zatem \\(g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1\\), a miejsce zerowe: \\(x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: przesunięcie wykresu \\(y = f(x)\\) o wektor \\([p, q]\\) daje wykres \\(y = f(x-p) + q\\). Miejsce zerowe przesuwa się wzdłuż osi \\(OX\\) o tyle, ile wynosi całkowite przesunięcie - nie tylko składowa wektora!

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x=1200\\text{ zł}$

"}]}