{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nFunkcja kwadratowa\n3\n)\n(\n2\nbx\nax\nx\nf\n, gdzie\n0\n>\nb\nposiada dwa różne miejsca zerowe,\nktórych iloczyn jest równy (\n3\n-). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość\nrówną (\n4\n), wyznacz:\na) współczynniki a i b ,\nb) miejsca zerowe funkcji f.\n5\nArkusz I\nFunkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx-3, gdzie b>0 posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy (-3). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą (-4), wyznacz a) współczynnik a i b, b) miejsca zerowe funkcji f.","answer":null,"answer_text":"8.1\nZapisanie warunku pozwalającego\nwyznaczyć a\n1 p\n3\n3\n-a\n8.2\nZapisanie warunku pozwalającego\nwyznaczyć b\n1 p\n4\n4\n∆\na\n8.3\nWyznaczeniea\n1 p\n1\na\n8.4\nWyznaczenie b\n1 p\n2\nb\n8.5\nObliczenie miejsc zerowych funkcji f.\n1 p\n3\n1\nx\n,\n1\n2 =\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: 84 zł 14 gr\n\n## Sposób 1 - Krok po kroku, od dołu do góry\n\n**Krok 1: Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne**\n\nPodstawa = \\(60\\%\\) przeciętnego wynagrodzenia:\n\n\\[P = 60\\% \\cdot 1869{,}76 = \\frac{60}{100} \\cdot 1869{,}76 = 0{,}6 \\cdot 1869{,}76\\]\n\n\\[P = 1121{,}856 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Składka na ubezpieczenie zdrowotne**\n\nSkładka = \\(7{,}5\\%\\) podstawy:\n\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 1121{,}856 = \\frac{7{,}5}{100} \\cdot 1121{,}856 = 0{,}075 \\cdot 1121{,}856\\]\n\n\\[S = 84{,}1392 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 3: Zaokrąglenie do 1 grosza (2 miejsca po przecinku)**\n\n\\[S \\approx 84{,}14 \\text{ zł} = \\mathbf{84 \\text{ zł } 14 \\text{ gr}}\\]\n\n## Sposób 2 - Jedno działanie (łączone procenty)\n\nZamiast liczyć pośrednią podstawę, możemy od razu połączyć oba procenty w jeden mnożnik.\n\nSkładka to \\(7{,}5\\%\\) z \\((60\\%\\) z wynagrodzenia\\()\\), czyli:\n\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 60\\% \\cdot 1869{,}76 = \\frac{7{,}5}{100} \\cdot \\frac{60}{100} \\cdot 1869{,}76\\]\n\n\\[S = \\frac{450}{10000} \\cdot 1869{,}76 = \\frac{4{,}5}{100} \\cdot 1869{,}76 = 0{,}045 \\cdot 1869{,}76\\]\n\n\\[S = 84{,}1392 \\text{ zł} \\approx \\mathbf{84{,}14 \\text{ zł}}\\]\n\nWynik identyczny - **84 zł 14 gr**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania procentowe: \\(p\\% \\cdot x = \\frac{p}{100} \\cdot x\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie liczymy \\(7{,}5\\%\\) bezpośrednio z wynagrodzenia \\(1869{,}76\\) zł! Składka zdrowotna to procent z procenta - trzeba najpierw wyznaczyć podstawę wymiaru (\\(60\\%\\) wynagrodzenia), a dopiero potem liczyć \\(7{,}5\\%\\) tej podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie do 1 grosza = 2 miejsca po przecinku. Wynik \\(84{,}1392\\) - trzecia cyfra po przecinku to \\(3 < 5\\), więc zaokrąglamy w dół: \\(84{,}13\\) Chwila - cyfra na **trzecim** miejscu to \\(9\\), na **czwartym** to \\(2\\). Zaokrąglamy **drugie** miejsce: patrzymy na trzecią cyfrę \\(= 9 \\geq 5\\), zatem \\(84{,}13 \\to 84{,}14\\). ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(0{,}075 \\times 1121{,}856\\) łatwo o błąd przecinka. Warto sprawdzić: \\(1\\% \\cdot 1121{,}856 = 11{,}21856\\), a \\(7\\% = 78{,}53\\), więc \\(7{,}5\\%\\) powinno być trochę więcej - \\(84{,}14\\) jest sensowne.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(84\\) zł \\(14\\) gr\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\n**Krok 1 - podstawa wymiaru składek \\(= 60\\%\\) przeciętnego wynagrodzenia:**\n\\[P = 60\\% \\cdot 1869{,}76 = 0{,}6 \\cdot 1869{,}76 = 1121{,}856 \\text{ zł}.\\]\n\n**Krok 2 - składka zdrowotna \\(= 7{,}5\\%\\) podstawy:**\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 1121{,}856 = 0{,}075 \\cdot 1121{,}856 = 84{,}1392 \\text{ zł}.\\]\n\n**Krok 3 - zaokrąglenie do \\(1\\) grosza:**\n\\[S \\approx 84{,}14 \\text{ zł} = 84 \\text{ zł } 14 \\text{ gr}.\\]\n\n### Sposób 2 - Jednym mnożeniem\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 60\\% \\cdot 1869{,}76 = 0{,}045 \\cdot 1869{,}76 = 84{,}1392 \\text{ zł} \\approx 84{,}14 \\text{ zł}.\\]\n\nBo \\(7{,}5\\% \\cdot 60\\% = 4{,}5\\%\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za obliczenie podstawy wymiaru składek \\(1121{,}856\\) zł (dopuszczalne \\(1121{,}86\\) zł);\n- 1 pkt za obliczenie składki zdrowotnej \\(84{,}1392\\) zł;\n- 1 pkt za podanie wyniku z poprawnym zaokrągleniem \\(84\\) zł \\(14\\) gr.\n\n**Trik:** procent procentu to iloczyn procentów. \\(7{,}5\\% \\cdot 60\\% = 4{,}5\\%\\) - przy rachunkach na kalkulatorze jednym krokiem otrzymujemy wynik. Pamiętaj o zaokrągleniu **w ostatnim kroku**, nie wcześniej!","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (5 pkt)
Funkcja kwadratowa
3
)
(
2
bx
ax
x
f
, gdzie
0

\n
\n

b
posiada dwa różne miejsca zerowe,
których iloczyn jest równy (
3
-). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość
równą (
4
), wyznacz:
a) współczynniki a i b ,
b) miejsca zerowe funkcji f.
5
Arkusz I
Funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx-3, gdzie b>0 posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy (-3). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą (-4), wyznacz a) współczynnik a i b, b) miejsca zerowe funkcji f.

","answer_text_html":"

8.1
Zapisanie warunku pozwalającego
wyznaczyć a
1 p
3
3
-a
8.2
Zapisanie warunku pozwalającego
wyznaczyć b
1 p
4
4
∆
a
8.3
Wyznaczeniea
1 p
1
a
8.4
Wyznaczenie b
1 p
2
b
8.5
Obliczenie miejsc zerowych funkcji f.
1 p
3
1
x
,
1
2 =
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 84 zł 14 gr

\n

Sposób 1 - Krok po kroku, od dołu do góry

\n

Krok 1: Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne

\n

Podstawa = \\(60\\%\\) przeciętnego wynagrodzenia:

\n

\\[P = 60\\% \\cdot 1869{,}76 = \\frac{60}{100} \\cdot 1869{,}76 = 0{,}6 \\cdot 1869{,}76\\]

\n

\\[P = 1121{,}856 \\text{ zł}\\]

\n

Krok 2: Składka na ubezpieczenie zdrowotne

\n

Składka = \\(7{,}5\\%\\) podstawy:

\n

\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 1121{,}856 = \\frac{7{,}5}{100} \\cdot 1121{,}856 = 0{,}075 \\cdot 1121{,}856\\]

\n

\\[S = 84{,}1392 \\text{ zł}\\]

\n

Krok 3: Zaokrąglenie do 1 grosza (2 miejsca po przecinku)

\n

\\[S \\approx 84{,}14 \\text{ zł} = \\mathbf{84 \\text{ zł } 14 \\text{ gr}}\\]

\n

Sposób 2 - Jedno działanie (łączone procenty)

\n

Zamiast liczyć pośrednią podstawę, możemy od razu połączyć oba procenty w jeden mnożnik.

\n

Składka to \\(7{,}5\\%\\) z \\((60\\%\\) z wynagrodzenia\\()\\), czyli:

\n

\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 60\\% \\cdot 1869{,}76 = \\frac{7{,}5}{100} \\cdot \\frac{60}{100} \\cdot 1869{,}76\\]

\n

\\[S = \\frac{450}{10000} \\cdot 1869{,}76 = \\frac{4{,}5}{100} \\cdot 1869{,}76 = 0{,}045 \\cdot 1869{,}76\\]

\n

\\[S = 84{,}1392 \\text{ zł} \\approx \\mathbf{84{,}14 \\text{ zł}}\\]

\n

Wynik identyczny - 84 zł 14 gr. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania procentowe: \\(p\\% \\cdot x = \\frac{p}{100} \\cdot x\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie liczymy \\(7{,}5\\%\\) bezpośrednio z wynagrodzenia \\(1869{,}76\\) zł! Składka zdrowotna to procent z procenta - trzeba najpierw wyznaczyć podstawę wymiaru (\\(60\\%\\) wynagrodzenia), a dopiero potem liczyć \\(7{,}5\\%\\) tej podstawy.
\n
⚠️ Uwaga: Zaokrąglenie do 1 grosza = 2 miejsca po przecinku. Wynik \\(84{,}1392\\) - trzecia cyfra po przecinku to \\(3 < 5\\), więc zaokrąglamy w dół: \\(84{,}13\\) Chwila - cyfra na trzecim miejscu to \\(9\\), na czwartym to \\(2\\). Zaokrąglamy drugie miejsce: patrzymy na trzecią cyfrę \\(= 9 \\geq 5\\), zatem \\(84{,}13 \\to 84{,}14\\). ✓
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu \\(0{,}075 \\times 1121{,}856\\) łatwo o błąd przecinka. Warto sprawdzić: \\(1\\% \\cdot 1121{,}856 = 11{,}21856\\), a \\(7\\% = 78{,}53\\), więc \\(7{,}5\\%\\) powinno być trochę więcej - \\(84{,}14\\) jest sensowne.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(84\\) zł \\(14\\) gr

\n
Sposób 1 - Krok po kroku
\n

Krok 1 - podstawa wymiaru składek \\(= 60\\%\\) przeciętnego wynagrodzenia:
\\[P = 60\\% \\cdot 1869{,}76 = 0{,}6 \\cdot 1869{,}76 = 1121{,}856 \\text{ zł}.\\]

\n

Krok 2 - składka zdrowotna \\(= 7{,}5\\%\\) podstawy:
\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 1121{,}856 = 0{,}075 \\cdot 1121{,}856 = 84{,}1392 \\text{ zł}.\\]

\n

Krok 3 - zaokrąglenie do \\(1\\) grosza:
\\[S \\approx 84{,}14 \\text{ zł} = 84 \\text{ zł } 14 \\text{ gr}.\\]

\n
Sposób 2 - Jednym mnożeniem
\n

\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 60\\% \\cdot 1869{,}76 = 0{,}045 \\cdot 1869{,}76 = 84{,}1392 \\text{ zł} \\approx 84{,}14 \\text{ zł}.\\]

\n

Bo \\(7{,}5\\% \\cdot 60\\% = 4{,}5\\%\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: procent procentu to iloczyn procentów. \\(7{,}5\\% \\cdot 60\\% = 4{,}5\\%\\) - przy rachunkach na kalkulatorze jednym krokiem otrzymujemy wynik. Pamiętaj o zaokrągleniu w ostatnim kroku, nie wcześniej!

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a=1$, $b=2$, $x_{1}=-3$, $x_{2}=1$

"}]}